$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ を有理化する。

$$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \cdot \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$$

$a$ は $3+2\sqrt{2}$ の整数部分である。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ である。

したがって、$3+2\sqrt{2} \approx 3 + 2.828 = 5.828$ である。

よって、$a = 5$ である。

$b$ は小数部分なので、$b = (3+2\sqrt{2}) - a = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ である。

次に、$ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を求める。

$ab^2 + b^2 + 4ab + 4b = b^2(a+1) + 4b(a+1) = (a+1)(b^2+4b)$

$a=5$, $b=2\sqrt{2}-2$ を代入すると、

$(5+1)((2\sqrt{2}-2)^2 + 4(2\sqrt{2}-2))$

$= 6((8-8\sqrt{2}+4) + (8\sqrt{2}-8))$

$= 6(12-8\sqrt{2}+8\sqrt{2}-8) = 6(4) = 24$

3. 最終的な答え

$a=5$

$b=2\sqrt{2}-2$

$ab^2 + b^2 + 4ab + 4b=24$