問題3: 行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の全ての成分が非負であり、さらに $a + c = b + d = 1$ を満たすとき、$A$ を確率行列という。確率行列 $A$ は $1$ を固有値に持つことを示し、固有値 $1$ に対する固有ベクトルを求めよ。 問題4: 2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ をもつとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $x_k$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ は平行でないことを示せ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題3: 行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の全ての成分が非負であり、さらに $a + c = b + d = 1$ を満たすとき、$A$ を確率行列という。確率行列 $A$ は $1$ を固有値に持つことを示し、固有値 $1$ に対する固有ベクトルを求めよ。

問題4: 2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ をもつとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $x_k$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ は平行でないことを示せ。

2. 解き方の手順

**問題3**

(1) 固有値が1であることを示す。

$A$ の固有値が 1 であることを示すには、$\det(A - I) = 0$ を示せばよい。ここで、$I$ は単位行列である。

$A - I = \begin{bmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{bmatrix}$

$\det(A - I) = (a-1)(d-1) - bc = ad - a - d + 1 - bc$

ここで、$a + c = 1$ より $a - 1 = -c$ であり、$b + d = 1$ より $d - 1 = -b$ であるから、

$\det(A - I) = ad - a - d + 1 - bc = (-c)(-b) - bc = bc - bc = 0$

したがって、$\lambda = 1$ は $A$ の固有値である。

(2) 固有ベクトルを求める。

固有値 1 に対する固有ベクトルを $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$(A - I) \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たす。

$\begin{bmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これから、以下の連立方程式を得る。

$(a-1)x_1 + bx_2 = 0$

$cx_1 + (d-1)x_2 = 0$

$a-1 = -c$, $d-1 = -b$ より、$-cx_1 + bx_2 = 0$, $cx_1 - bx_2 = 0$

したがって、$cx_1 = bx_2$ となる。この式を満たす $x_1, x_2$ の組の一つは $x_1 = b, x_2 = c$ である。したがって、固有ベクトルは $k\begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$ ($k \neq 0$) となる。

**問題4**

$x_1$ と $x_2$ が平行であると仮定する。すると、$x_1 = kx_2$ ($k \neq 0$) と表せる。

$Ax_1 = \lambda_1 x_1$ かつ $Ax_2 = \lambda_2 x_2$ である。$x_1 = kx_2$ を $Ax_1 = \lambda_1 x_1$ に代入すると、

$A(kx_2) = \lambda_1 (kx_2)$

$k(Ax_2) = k\lambda_1 x_2$

$k\lambda_2 x_2 = k\lambda_1 x_2$

$k(\lambda_2 - \lambda_1)x_2 = 0$

$k \neq 0$ かつ $x_2 \neq 0$ であるから、$\lambda_2 - \lambda_1 = 0$ となる。これは、$\lambda_1 \neq \lambda_2$ であることに矛盾する。したがって、$x_1$ と $x_2$ は平行ではない。

3. 最終的な答え

**問題3**

* 固有値1を持つことの証明: $\det(A-I) = 0$ を示すことで証明された。

* 固有ベクトル: $k \begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$ ($k \neq 0$)

**問題4**

$x_1$ と $x_2$ は平行ではない。