4次方程式 $x^4 + ax^3 + (a+3)x^2 + 16x + b = 0$ の解のうち2つが1と2であるとき、$a$, $b$ の値と残りの2つの解を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + ax^3 + (a+3)x^2 + 16x + b = 0$ の解のうち2つが1と2であるとき、$a$, $b$ の値と残りの2つの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

解が1と2なので、$x=1$と$x=2$を方程式に代入します。

$x=1$のとき:

$1^4 + a(1)^3 + (a+3)(1)^2 + 16(1) + b = 0$

$1 + a + a + 3 + 16 + b = 0$

$2a + b + 20 = 0$

$x=2$のとき:

$2^4 + a(2)^3 + (a+3)(2)^2 + 16(2) + b = 0$

$16 + 8a + 4(a+3) + 32 + b = 0$

$16 + 8a + 4a + 12 + 32 + b = 0$

$12a + b + 60 = 0$

連立方程式を解きます。

$2a + b + 20 = 0$

$12a + b + 60 = 0$

2番目の式から1番目の式を引きます。

$(12a + b + 60) - (2a + b + 20) = 0$

$10a + 40 = 0$

$10a = -40$

$a = -4$

$a = -4$ を $2a + b + 20 = 0$ に代入します。

$2(-4) + b + 20 = 0$

$-8 + b + 20 = 0$

$b + 12 = 0$

$b = -12$

よって、$a = -4$、$b = -12$ です。

次に、方程式に $a$ と $b$ の値を代入します。

$x^4 - 4x^3 + (-4+3)x^2 + 16x - 12 = 0$

$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$

解が1と2なので、$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ で割り切れるはずです。

$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12$ を $x^2 - 3x + 2$ で割ると、

$x^2 - x - 6$ となります。

したがって、$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x^2 - 3x + 2)(x^2 - x - 6) = (x-1)(x-2)(x^2 - x - 6) = 0$

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

他の解は3と-2です。

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = -12$ であり、他の解は $3$ と $-2$ である。