与えられた4x4行列Aの行列式を計算します。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式を計算します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

4x4の行列式を計算するため、余因子展開を使用します。今回は1行目で展開します。

$det(A) = 1 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} + 1 \cdot C_{15}$

ここで $C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。

余因子は以下の様に計算されます: $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

ここで $M_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の小行列式です。

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = det \begin{bmatrix} 5 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = det \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = -det \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = 0$ （係数が0なので）

$C_{15} = (-1)^{1+5} M_{15} = det \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

次に、これらの3x3行列式を計算します。計算を簡単にするために、行または列に対して展開していきます。

$M_{11} = 5\cdot det\begin{bmatrix}0&0&3 \\ 2&2&4 \\ 1&0&1\end{bmatrix} - 1\cdot det\begin{bmatrix}1&0&3 \\ 0&2&4 \\ 3&0&1\end{bmatrix} + 1\cdot det\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&2&2 \\ 3&0&1\end{bmatrix} - 2\cdot det\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&2&2 \\ 3&0&1\end{bmatrix}$

$M_{11} = 5(0-0+6) -1(2+0-6) + 1(2-0) -2(2-0)= 30+4+2-4 = 32$

$C_{11} = 32$

$M_{12} = 1\cdot det\begin{bmatrix}0&0&3 \\ 2&2&4 \\ 1&0&1\end{bmatrix} -1\cdot det\begin{bmatrix}2&0&3 \\ 2&2&4 \\ 0&0&1\end{bmatrix} + 1\cdot det\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 2&2&2 \\ 0&0&0\end{bmatrix} -2\cdot det\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 2&2&2 \\ 0&0&0\end{bmatrix} = (0-0+6) - (4-0) + 0 - 0 = 2$

$C_{12} = -2$

$M_{13}=1\cdot det\begin{bmatrix}1&0&3 \\ 0&2&4 \\ 3&1&1\end{bmatrix}-5\cdot det\begin{bmatrix}2&0&3 \\ 2&2&4 \\ 0&1&1\end{bmatrix}+1\cdot det\begin{bmatrix}2&1&3 \\ 2&0&4 \\ 0&3&1\end{bmatrix}-2\cdot det\begin{bmatrix}2&1&0 \\ 2&0&2 \\ 0&3&1\end{bmatrix}$

$M_{13}=1(2-0-24+0+4-0)-5(4+0+6-0-8-4)+1(0+0+18-0-24-2)-2(0+0+12-0-4-2)$

$M_{13}=-18-5(-2)+1(-8)-2(6)= -18+10-8-12=-28$

$C_{13} = -28$

$M_{15} = 1\cdot det\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&2&2 \\ 3&1&0\end{bmatrix}-5\cdot det\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 2&2&2 \\ 0&1&0\end{bmatrix}+1\cdot det\begin{bmatrix}2&1&0 \\ 2&0&2 \\ 0&3&0\end{bmatrix}-1\cdot det\begin{bmatrix}2&1&0 \\ 2&0&2 \\ 0&3&0\end{bmatrix} = (0+0+0-0-2-0) -5(0+0+0-0-4-0) + 1(0+0+0-0-12-0) -1(0+0+0-0-12-0) = -2+20-12+12 = 18$

$C_{15} = 18$

$det(A) = 1 \cdot 32 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot (-28) + 0 + 1 \cdot 18 = 32 + 2 - 84 + 18 = -32$

3. 最終的な答え

-32