与えられた4x5の行列Aの行列式を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x5の行列Aの行列式を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列は4x5なので、正方行列ではありません。行列式は正方行列に対してのみ定義されるため、この行列Aの行列式は存在しません。問題文の指示が不適切である可能性があります。しかし、問題文が意図する行列が、例えば、最初の4列からなる正方行列だと仮定して、行列式を計算してみます。

$A' = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

この行列の行列式を計算する方法はいくつかありますが、ここでは余因子展開を用いて計算します。第3行に着目すると、0が多く計算が楽になります。

$det(A') = 2 * C_{31} + 1 * C_{32} + 0 * C_{33} + 0 * C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分に対する余因子です。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 * ((-1)(1*2 - 1*2) - 3(5*2 - 1*0) + 0) = 1 * (0 - 30 + 0) = -30$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -1 * (1(1*2 - 1*2) - 3(1*2 - 1*2) + 0) = -1 * (0 - 0 + 0) = 0$

よって、

$det(A') = 2 * (-30) + 1 * 0 = -60$

3. 最終的な答え

もし元の行列に対する行列式が存在しないとすれば、答えは「存在しない」となります。もし、問題文が$A'$の行列式を求めているのであれば、答えは-60となります。