ある母集団は平均 $5$、分散 $16$ の正規分布に従うと思われていた。母平均が大きくなったと感じたので、$100$ 個の標本を抽出したところ、その標本平均は $5.7$ であった。母平均が大きくなったといえるか、有意水準 $5\%$ で検定する。

1. 問題の内容

ある母集団は平均 $5$、分散 $16$ の正規分布に従うと思われていた。母平均が大きくなったと感じたので、$100$ 個の標本を抽出したところ、その標本平均は $5.7$ であった。母平均が大きくなったといえるか、有意水準 $5\%$ で検定する。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を設定する。

* $H_0$: 母平均 $\mu = 5$

* $H_1$: 母平均 $\mu > 5$ (片側検定)

(2) 検定統計量を計算する。母分散が既知なので、$Z$ 検定を行う。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{X} = 5.7$, $\mu = 5$, $\sigma^2 = 16$ より $\sigma = 4$, $n = 100$ である。

よって、

$Z = \frac{5.7 - 5}{4 / \sqrt{100}} = \frac{0.7}{4 / 10} = \frac{0.7}{0.4} = 1.75$

(3) 有意水準 $5\%$ での棄却域を求める。片側検定なので、標準正規分布表から $P(Z > z_{\alpha}) = 0.05$ となる $z_{\alpha}$ を探す。$z_{0.05} \approx 1.645$

(4) 検定統計量と棄却域を比較する。

$Z = 1.75 > 1.645 = z_{0.05}$

よって、帰無仮説 $H_0$ は棄却される。

3. 最終的な答え

有意水準 $5\%$ で、母平均は大きくなったといえる。