問題は3つあります。 * 問6：17歳女性の身長が正規分布に従うときの確率に関する問題です。 * 問7：確率変数 $X$ が正規分布に従うときの確率に関する問題です。 * 問8：2つの予備校の模試の結果から、どちらの生徒が優れているかを判断する問題です。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 問6：17歳女性の身長が正規分布に従うときの確率に関する問題です。

* 問7：確率変数 $X$ が正規分布に従うときの確率に関する問題です。

* 問8：2つの予備校の模試の結果から、どちらの生徒が優れているかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

**問6**

(1) 17歳女性の身長が162.5cm未満である確率を求める。

平均 $\mu = 158.0$ cm、標準偏差 $\sigma = 5.39$ cm。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ を用いて標準化する。

$Z = \frac{162.5 - 158.0}{5.39} = \frac{4.5}{5.39} \approx 0.835$

標準正規分布表または関数電卓を用いて、$Z < 0.835$ となる確率を求める。

$\Phi(0.835) \approx 0.7981$

(2) 17歳女性の身長が150.0cm以下である確率を求める。

$Z = \frac{150.0 - 158.0}{5.39} = \frac{-8.0}{5.39} \approx -1.484$

$Z < -1.484$ となる確率を求める。$\Phi(-1.484) = 1 - \Phi(1.484)$.

$\Phi(1.484) \approx 0.9312$なので、$\Phi(-1.484) = 1 - 0.9312 \approx 0.0688$

(3) 17歳女性の身長が155.0cm以上160.0cm未満である確率を求める。

$155.0 \le X < 160.0$ となる確率を求める。

$Z_1 = \frac{155.0 - 158.0}{5.39} = \frac{-3.0}{5.39} \approx -0.557$

$Z_2 = \frac{160.0 - 158.0}{5.39} = \frac{2.0}{5.39} \approx 0.371$

$-0.557 \le Z < 0.371$ となる確率を求める。

$\Phi(0.371) - \Phi(-0.557) = \Phi(0.371) - (1 - \Phi(0.557))$

$\Phi(0.371) \approx 0.6443$

$\Phi(0.557) \approx 0.7111$

$0.6443 - (1 - 0.7111) = 0.6443 - 0.2889 = 0.3554$

**問7**

(1) $60 < X < 68$ となる確率を求める。

平均 $\mu = 64$、分散 $\sigma^2 = 64$ なので、標準偏差 $\sigma = 8$。

$Z_1 = \frac{60 - 64}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5$

$Z_2 = \frac{68 - 64}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$

$-0.5 < Z < 0.5$ となる確率を求める。

$\Phi(0.5) - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5) - (1 - \Phi(0.5)) = 2\Phi(0.5) - 1$

$\Phi(0.5) \approx 0.6915$ なので、$2(0.6915) - 1 = 1.383 - 1 = 0.383$

(2) $68 < X < 76$ となる確率を求める。

$Z_1 = \frac{68 - 64}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$

$Z_2 = \frac{76 - 64}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$

$0.5 < Z < 1.5$ となる確率を求める。

$\Phi(1.5) - \Phi(0.5) \approx 0.9332 - 0.6915 = 0.2417$

(3) $X > 76$ となる確率を求める。

$Z = \frac{76 - 64}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$

$Z > 1.5$ となる確率を求める。

$1 - \Phi(1.5) \approx 1 - 0.9332 = 0.0668$

**問8**

A君の標準化された点数：$Z_A = \frac{88 - 80.3}{5.7} = \frac{7.7}{5.7} \approx 1.351$

B君の標準化された点数：$Z_B = \frac{75 - 58.1}{10.3} = \frac{16.9}{10.3} \approx 1.641$

3. 最終的な答え

**問6**

(1) 0.7981

(2) 0.0688

(3) 0.3554

**問7**

(1) 0.383

(2) 0.2417

(3) 0.0668

**問8**

B君の方が優れていると考えられる。