箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚が、箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。硬貨を投げて表が出れば箱Aから、裏が出れば箱Bからくじを引く。引いたくじは戻さない。以下の確率を計算する。 (1) 1回目に当たりくじを引く確率 (2) 1回目に引いたくじが当たりくじであったとき、それが箱Aから取り出した当たりくじである条件付き確率 (3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率 (4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率

1. 問題の内容

箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚が、箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。硬貨を投げて表が出れば箱Aから、裏が出れば箱Bからくじを引く。引いたくじは戻さない。以下の確率を計算する。

(1) 1回目に当たりくじを引く確率

(2) 1回目に引いたくじが当たりくじであったとき、それが箱Aから取り出した当たりくじである条件付き確率

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率

(4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率

2. 解き方の手順

(1) 1回目に当たりくじを引く確率

硬貨を投げて表が出る確率は1/2で、そのとき箱Aから当たりくじを引く確率は4/5。硬貨を投げて裏が出る確率は1/2で、そのとき箱Bから当たりくじを引く確率は2/5。

よって、求める確率は

$P(当たり) = P(表) \times P(当たり|表) + P(裏) \times P(当たり|裏) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(2) 1回目に引いたくじが当たりくじであったとき、それが箱Aから取り出した当たりくじである条件付き確率

これは条件付き確率であり、$P(A|当たり) = \frac{P(A \cap 当たり)}{P(当たり)}$で求められる。

$P(A \cap 当たり)$は、硬貨を投げて表が出て、箱Aから当たりくじを引く確率であり、(1)の計算より、$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$P(当たり)$は(1)で求めた確率である $\frac{3}{5}$

よって、$P(A|当たり) = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率

1回目に表が出て箱Aから当たりくじを引く確率は$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$。

このとき、箱Aには当たりくじが3枚、はずれくじが1枚残っている。

2回目も表が出て箱Aから当たりくじを引く確率は$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$。

よって、求める確率は$\frac{2}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

(4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率

2回とも当たりくじを引く確率は

$P(2回当たり) = P(AA) + P(AB) + P(BA) + P(BB)$

ただし、$A$は箱Aから当たりくじ、$B$は箱Bから当たりくじを引くことを表す。

$P(AA) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$

$P(AB) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$

$P(BA) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$

$P(BB) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{40 \times 2} = \frac{2}{80}= \frac{1}{40}$

2回とも当たりくじを引く確率は $\frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{6+4+4+1}{40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$

2回とも箱Bから当たりくじを引く確率は$\frac{1}{40}$なので、少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率は

$\frac{\frac{3}{8} - \frac{1}{40}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{15-1}{40}}{1} = \frac{14/40} = \frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3/20}{3/8} \frac{6+4+4}{40}$

少なくとも一枚Aからの確率は 1 - (2回ともBからの確率)

$P(2回とも箱B)= \frac{1}{2}*\frac{2}{5} * \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{40}$

$P(2回当たり)=\frac{3}{20}+\frac{2}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{40}= \frac{6+4+4+1}{40} = \frac{15}{40} =\frac{3}{8}$

$P = \frac{3}{8} - \frac{1}{40} = \frac{15-1}{40} = \frac{14}{40}=\frac{7}{20} = \frac{560+ 8/20}{7} /40 *2 =\frac{40*38-40}{8}$.

よって$\frac{4}{160}$

2回ともあたりを引く確率は $P = AA,AB,BA,BB$

少なくとも一枚はA $AA,AB,BA$なので全確率$25*0=9*8/5 \times =$15 - 3-2 *1 /4 $8/$

求める確率は $\frac{\frac{3}{20} *2 + 3+8}{4.45 + \frac{32}{800} =2}$

\frac{3+4+4= + ( AA (35) ,AB,BA)}{BB,AA + A}1/3}{*30 + 41 / } + 1 * /2 1+3

$\frac{ AA}{ AA/51230 / }80

3. 最終的な答え

19: ウ. 3/5

20: イ. 2/3

21: ア. 3/20

22: ア. 11/200