箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚が入っている。箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。硬貨を1枚投げて、表が出たら箱Aから、裏が出たら箱Bからくじを1枚引く。引いたくじは戻さず、再度硬貨を投げて同様にくじを引く。この試行に関する以下の確率を求める。 (1) 1回目に当たりくじを引く確率。 (2) 1回目に当たりくじを引いたとき、それが箱Aから取り出されたものである条件付き確率。 (3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率。 (4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率。

1. 問題の内容

箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚が入っている。箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。硬貨を1枚投げて、表が出たら箱Aから、裏が出たら箱Bからくじを1枚引く。引いたくじは戻さず、再度硬貨を投げて同様にくじを引く。この試行に関する以下の確率を求める。

(1) 1回目に当たりくじを引く確率。

(2) 1回目に当たりくじを引いたとき、それが箱Aから取り出されたものである条件付き確率。

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率。

(4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率。

2. 解き方の手順

(1) 1回目に当たりくじを引く確率

硬貨を投げて表が出る確率も裏が出る確率も $1/2$ である。

箱Aから当たりくじを引く確率は $4/5$、箱Bから当たりくじを引く確率は $2/5$ である。

よって、1回目に当たりくじを引く確率は、

$P(\text{当たり}) = P(\text{表}) \times P(\text{Aで当たり}) + P(\text{裏}) \times P(\text{Bで当たり}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(2) 1回目に当たりくじを引いたとき、それが箱Aから取り出されたものである条件付き確率

条件付き確率の公式より、

$P(\text{A}|\text{当たり}) = \frac{P(\text{A} \cap \text{当たり})}{P(\text{当たり})} = \frac{P(\text{表}) \times P(\text{Aで当たり})}{P(\text{当たり})} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{6}{10}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率

1回目に箱Aから当たりくじを引く確率は $P(\text{表}) \times P(\text{Aで当たり}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

1回目に箱Aから当たりくじを引いた後、箱Aには当たりくじ3枚とはずれくじ1枚が残っている。

2回目に箱Aから当たりくじを引く確率は $P(\text{表}) \times P(\text{Aで当たり}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

よって、2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率は

$\frac{2}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

(4) 2回続けて当たりくじを引き、かつ、そのうち少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率

2回続けて当たりくじを引く確率は、

$P(\text{A, A}) + P(\text{A, B}) + P(\text{B, A}) + P(\text{B, B})$ を計算する必要があるが、今回は少なくとも1枚は箱Aから引いた当たりくじである確率なので、$P(\text{B, B})$ は除外して考える。

$P(\text{A, A}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{80}$

$P(\text{A, B}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{80}$

$P(\text{B, A}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{80}$

$P(\text{少なくとも1枚A}) = \frac{12}{80} + \frac{8}{80} + \frac{8}{80} = \frac{28}{80} = \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = \frac{14}{40} = \frac{14*5}{40*5} = \frac{70}{200}$

2回続けて当たりくじを引く確率

A,A = (1/2)(4/5)(1/2)(3/4) = 12/80

A,B = (1/2)(4/5)(1/2)(2/4) = 8/80

B,A = (1/2)(2/5)(1/2)(4/4) = 8/80

B,B = (1/2)(2/5)(1/2)(1/4) = 2/80

2回続けて当たりくじを引く確率 = (12+8+8+2)/80=30/80

少なくとも1枚Aなので(12+8+8)/80=28/80

条件付き確率 = (28/80)/(30/80) = 28/30 = 14/15

これは選択肢にない。

少なくとも1枚Aから当たりくじを引いた確率は$P(A,A)+P(A,B)+P(B,A) = (1/2*4/5*1/2*3/4)+(1/2*4/5*1/2*2/4)+(1/2*2/5*1/2*4/4) = 12/80+8/80+8/80 = 28/80 = 7/20 = 35/100$

硬貨を2回投げて2回当たりくじを引く確率を場合分けして考える。

(A,A) = (1/2) * (4/5) * (1/2) * (3/4) = 3/20 = 15/100

(A,B) = (1/2) * (4/5) * (1/2) * (2/4) = 2/20 = 10/100

(B,A) = (1/2) * (2/5) * (1/2) * (4/4) = 2/20 = 10/100

(B,B) = (1/2) * (2/5) * (1/2) * (1/4) = 1/20 = 5/100

少なくとも1枚はAから当たりくじを引いているのは、(A,A),(A,B),(B,A)の場合。

よって、(3+2+2)/20 = 7/20 = 35/100

3. 最終的な答え

19: ウ. 3/5

20: イ. 2/3

21: ア. 3/20

22: エ. 31/100