17歳女性の身長が正規分布に従うとして、与えられた平均と標準偏差を用いて、次の確率を計算します。 (1) 162.5cm未満である確率 (2) 150.0cm以下である確率 (3) 155.0cm以上160.0cm未満である確率

1. 問題の内容

17歳女性の身長が正規分布に従うとして、与えられた平均と標準偏差を用いて、次の確率を計算します。

(1) 162.5cm未満である確率

(2) 150.0cm以下である確率

(3) 155.0cm以上160.0cm未満である確率

2. 解き方の手順

正規分布を標準正規分布に変換し、標準正規分布表（または計算ツール）を用いて確率を求めます。 平均 $\mu = 158.0$ cm、標準偏差 $\sigma = 5.39$ cmとします。

標準化された変数 $Z$ は、 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ で計算されます。

(1) $X < 162.5$ となる確率を求めます。

$Z = \frac{162.5 - 158.0}{5.39} = \frac{4.5}{5.39} \approx 0.835$

標準正規分布表を用いて、$P(Z < 0.835)$ を求めます。近似的に $P(Z < 0.84) \approx 0.7995$ となります。

(2) $X \le 150.0$ となる確率を求めます。

$Z = \frac{150.0 - 158.0}{5.39} = \frac{-8}{5.39} \approx -1.484$

標準正規分布表を用いて、$P(Z \le -1.484)$ を求めます。近似的に $P(Z < -1.48) = 1 - P(Z < 1.48) \approx 1 - 0.9306 = 0.0694$ となります。

(3) $155.0 \le X < 160.0$ となる確率を求めます。

まず、$X=155.0$ のときの$Z$を計算します。

$Z_1 = \frac{155.0 - 158.0}{5.39} = \frac{-3}{5.39} \approx -0.557$

次に、$X=160.0$ のときの$Z$を計算します。

$Z_2 = \frac{160.0 - 158.0}{5.39} = \frac{2}{5.39} \approx 0.371$

$P(-0.557 \le Z < 0.371) = P(Z < 0.371) - P(Z < -0.557)$ となります。

標準正規分布表を用いて、$P(Z < 0.371) \approx P(Z < 0.37) \approx 0.6443$ を求めます。

また、$P(Z < -0.557) \approx P(Z < -0.56) = 1 - P(Z < 0.56) \approx 1 - 0.7123 = 0.2877$ となります。

したがって、$P(-0.557 \le Z < 0.371) \approx 0.6443 - 0.2877 = 0.3566$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 162.5cm未満である確率は約0.7995です。

(2) 150.0cm以下である確率は約0.0694です。

(3) 155.0cm以上160.0cm未満である確率は約0.3566です。