問題6, 7, 8を解く。 * 問題6：17歳女性の身長が平均158.0cm、標準偏差5.39cmの正規分布に従うとき、以下の確率を求めよ。 * (1) 身長が162.5cm未満である確率 * (2) 身長が150.0cm以下である確率 * (3) 身長が155.0cm以上160.0cm未満である確率 * 問題7：確率変数 $X$ が平均64、分散64の正規分布に従うとき、以下の確率を求めよ。 * (1) $60 < X < 68$ となる確率 * (2) $68 < X < 76$ となる確率 * (3) $X > 76$ となる確率 * 問題8：S予備校の模試は平均80.3点、標準偏差5.7点。T予備校の模試は平均58.1点、標準偏差10.3点。S予備校のA君は88点、T予備校のB君は75点。A君とB君のどちらが優れていると考えられるか。

1. 問題の内容

問題6, 7, 8を解く。

* 問題6：17歳女性の身長が平均158.0cm、標準偏差5.39cmの正規分布に従うとき、以下の確率を求めよ。

* (1) 身長が162.5cm未満である確率

* (2) 身長が150.0cm以下である確率

* (3) 身長が155.0cm以上160.0cm未満である確率

* 問題7：確率変数 $X$ が平均64、分散64の正規分布に従うとき、以下の確率を求めよ。

* (1) $60 < X < 68$ となる確率

* (2) $68 < X < 76$ となる確率

* (3) $X > 76$ となる確率

* 問題8：S予備校の模試は平均80.3点、標準偏差5.7点。T予備校の模試は平均58.1点、標準偏差10.3点。S予備校のA君は88点、T予備校のB君は75点。A君とB君のどちらが優れていると考えられるか。

2. 解き方の手順

* 問題6：正規分布を標準正規分布に変換し、標準正規分布表を用いて確率を求める。

* (1) $Z = \frac{162.5 - 158}{5.39} \approx 0.835$。$P(Z < 0.835)$を標準正規分布表から求める。

* (2) $Z = \frac{150 - 158}{5.39} \approx -1.484$。$P(Z < -1.484)$を標準正規分布表から求める。

* (3) $Z_1 = \frac{155 - 158}{5.39} \approx -0.557$、$Z_2 = \frac{160 - 158}{5.39} \approx 0.371$。$P(-0.557 < Z < 0.371) = P(Z < 0.371) - P(Z < -0.557)$を標準正規分布表から求める。

* 問題7：正規分布を標準正規分布に変換し、標準正規分布表を用いて確率を求める。分散が64なので、標準偏差は$\sqrt{64} = 8$である。

* (1) $Z_1 = \frac{60 - 64}{8} = -0.5$、$Z_2 = \frac{68 - 64}{8} = 0.5$。$P(-0.5 < Z < 0.5) = P(Z < 0.5) - P(Z < -0.5)$を標準正規分布表から求める。

* (2) $Z_1 = \frac{68 - 64}{8} = 0.5$、$Z_2 = \frac{76 - 64}{8} = 1.5$。$P(0.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < 0.5)$を標準正規分布表から求める。

* (3) $Z = \frac{76 - 64}{8} = 1.5$。$P(X > 76) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5)$を標準正規分布表から求める。

* 問題8：それぞれの偏差値を計算して比較する。

* A君の偏差値：$Z_A = \frac{88 - 80.3}{5.7} \approx 1.351$

* B君の偏差値：$Z_B = \frac{75 - 58.1}{10.3} \approx 1.641$

* 偏差値は平均からの標準偏差の数を示すため、偏差値が高い方が、平均より良い成績を収めたことを意味する。

3. 最終的な答え

* 問題6：

* (1) $P(Z < 0.835) \approx 0.798$

* (2) $P(Z < -1.484) \approx 0.069$

* (3) $P(-0.557 < Z < 0.371) \approx 0.410$

* 問題7：

* (1) $P(-0.5 < Z < 0.5) \approx 0.383$

* (2) $P(0.5 < Z < 1.5) \approx 0.247$

* (3) $P(Z > 1.5) \approx 0.067$

* 問題8：B君の方が優れていると考えられる。