線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ と $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が与えられています。 $f(v) = Av$, ただし $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{bmatrix}$ であり、$g\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-y+z \\ y+z \end{bmatrix}$ です。 合成写像 $f \circ g$ が全射となるような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ と $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が与えられています。

$f(v) = Av$, ただし $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{bmatrix}$ であり、$g\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-y+z \\ y+z \end{bmatrix}$ です。

合成写像 $f \circ g$ が全射となるような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成写像 $f \circ g$ を計算します。

$f(g(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix})) = f(\begin{bmatrix} x-y+z \\ y+z \end{bmatrix}) = A\begin{bmatrix} x-y+z \\ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-y+z \\ y+z \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} x-y+z+y+z \\ x-y+z+a(y+z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2z \\ x+(a-1)y+(a+1)z \end{bmatrix}$

したがって、

$f \circ g \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2z \\ x+(a-1)y+(a+1)z \end{bmatrix}$

$f \circ g$ が全射であるとは、任意の $\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$ に対して、ある $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$ が存在し、$f \circ g \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$ となることです。

つまり、次の連立方程式が解を持つことが必要かつ十分です。

$x + 2z = u$

$x + (a-1)y + (a+1)z = v$

上の式から下の式を引くと、

$(a-1)y + (a-1)z = v - u$

$(a-1)(y+z) = v-u$

$a \ne 1$ のとき、$y+z = \frac{v-u}{a-1}$ となり、$y$ または $z$ を任意に決めれば、もう一方が決まります。

例えば、$y = 0$ とすれば、$z = \frac{v-u}{a-1}$ となり、$x = u - 2z = u - \frac{2(v-u)}{a-1}$ となります。

したがって、$a \ne 1$ ならば全射です。

$a = 1$ のとき、$(1-1)(y+z) = v - u$ より、$0 = v - u$ となり、$v = u$ が必要になります。これは $\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$ が任意であることに矛盾するので、$a = 1$ のときは全射ではありません。

3. 最終的な答え

$a \ne 1$