位置ベクトル $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ が与えられたとき、$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right)$ を求めよ。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。

1. 問題の内容

位置ベクトル $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ が与えられたとき、$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right)$ を求めよ。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ であり、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であるから、$\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ は次のように表されます。

$\frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\mathbf{i} + \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\mathbf{j} + \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\mathbf{k}$

次に、発散（ダイバージェンス）$\nabla \cdot \mathbf{A}$ は $\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$ で定義されます。したがって、

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right)$

ここで、$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3x}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x}{r^4}\frac{x}{r} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$

同様に、$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}$

$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}$

したがって、

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}\right) + \left(\frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}\right) = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = 0$

ただし、$r \neq 0$ のとき。

3. 最終的な答え

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = 0$ (ただし、$r \neq 0$)