ベクトル関数 $\mathbf{F}_1(x,y,z) = (x-3y+5z)\mathbf{i} + (6y-4z+2x)\mathbf{j} + (4z-7x+4y)\mathbf{k}$ に対して、以下の積分を計算する。 (1) 閉曲面 $S_1$ 上の面積分 $\iint_{S_1} \mathbf{F}_1 \cdot \mathbf{n} dS$。ここで、$S_1$ は体積 7 の領域を囲む。 (2) 閉曲線 $C_2$ に沿った線積分 $\oint_{C_2} \mathbf{F}_1 \cdot d\mathbf{r}$。ここで、$C_2$ は $yz$ 平面にあり、$x$ が正の側から見て反時計回りであり、面積 2 の平面領域を囲む。

## 問題3

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{F}_1(x,y,z) = (x-3y+5z)\mathbf{i} + (6y-4z+2x)\mathbf{j} + (4z-7x+4y)\mathbf{k}$ に対して、以下の積分を計算する。

(1) 閉曲面 $S_1$ 上の面積分 $\iint_{S_1} \mathbf{F}_1 \cdot \mathbf{n} dS$。ここで、$S_1$ は体積 7 の領域を囲む。

(2) 閉曲線 $C_2$ に沿った線積分 $\oint_{C_2} \mathbf{F}_1 \cdot d\mathbf{r}$。ここで、$C_2$ は $yz$ 平面にあり、$x$ が正の側から見て反時計回りであり、面積 2 の平面領域を囲む。

2. 解き方の手順

(1) 発散定理を用いる。発散定理は、閉曲面 $S$ で囲まれた体積 $V$ に対して、

$\qquad \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV$

である。$\mathbf{F}_1$ の発散を計算する。

$\qquad \nabla \cdot \mathbf{F}_1 = \frac{\partial}{\partial x}(x-3y+5z) + \frac{\partial}{\partial y}(6y-4z+2x) + \frac{\partial}{\partial z}(4z-7x+4y) = 1 + 6 + 4 = 11$

したがって、

$\qquad \iint_{S_1} \mathbf{F}_1 \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_{V_1} 11 dV = 11 \iiint_{V_1} dV = 11 \cdot \text{体積}(V_1) = 11 \cdot 7 = 77$

(2) ストークスの定理を用いる。ストークスの定理は、曲線 $C$ で囲まれた曲面 $S$ に対して、

$\qquad \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS$

$\mathbf{F}_1$ の回転を計算する。

$\qquad \nabla \times \mathbf{F}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x-3y+5z & 6y-4z+2x & 4z-7x+4y \end{vmatrix} = (4 - (-4))\mathbf{i} + (5 - (-7))\mathbf{j} + (2 - (-3))\mathbf{k} = 8\mathbf{i} + 12\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$

$C_2$ は $yz$ 平面上にあるので、法線ベクトルは $\mathbf{n} = \mathbf{i}$ である。したがって、

$\qquad (\nabla \times \mathbf{F}_1) \cdot \mathbf{n} = (8\mathbf{i} + 12\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) \cdot \mathbf{i} = 8$

ゆえに、

$\qquad \oint_{C_2} \mathbf{F}_1 \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S_2} 8 dS = 8 \iint_{S_2} dS = 8 \cdot \text{面積}(S_2) = 8 \cdot 2 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{S_1} \mathbf{F}_1 \cdot \mathbf{n} dS = 77$

(2) $\oint_{C_2} \mathbf{F}_1 \cdot d\mathbf{r} = 16$

## 問題4

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{F}_2(x,y,z) = (3x+2y)\mathbf{i} + (4y-5z)\mathbf{j} + (4z+3y)\mathbf{k}$ に対して、以下の積分を計算する。

(1) 閉曲面 $S_3$ 上の面積分 $\iint_{S_3} \mathbf{F}_2 \cdot \mathbf{n} dS$。ここで、$S_3$ は $(x-1)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 9$ で定義される球面である。

(2) 閉曲線 $C_4$ に沿った線積分 $\oint_{C_4} \mathbf{F}_2 \cdot d\mathbf{r}$。ここで、$C_4$ は平面 $x=3$ にあり、$(y-2)^2 + z^2 = 4$ で定義される円である。

2. 解き方の手順

(1) 発散定理を用いる。$\mathbf{F}_2$ の発散を計算する。

$\qquad \nabla \cdot \mathbf{F}_2 = \frac{\partial}{\partial x}(3x+2y) + \frac{\partial}{\partial y}(4y-5z) + \frac{\partial}{\partial z}(4z+3y) = 3 + 4 + 4 = 11$

したがって、

$\qquad \iint_{S_3} \mathbf{F}_2 \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_{V_3} 11 dV = 11 \iiint_{V_3} dV = 11 \cdot \text{体積}(V_3)$

$V_3$ は半径 3 の球なので、体積は $\frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi$。

$\qquad \iint_{S_3} \mathbf{F}_2 \cdot \mathbf{n} dS = 11 \cdot 36\pi = 396\pi$

(2) ストークスの定理を用いる。$\mathbf{F}_2$ の回転を計算する。

$\qquad \nabla \times \mathbf{F}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 3x+2y & 4y-5z & 4z+3y \end{vmatrix} = (3 - (-5))\mathbf{i} + (0 - 0)\mathbf{j} + (0 - 2)\mathbf{k} = 8\mathbf{i} - 2\mathbf{k}$

$C_4$ は平面 $x=3$ にあるので、法線ベクトルは $\mathbf{n} = \mathbf{i}$ である。したがって、

$\qquad (\nabla \times \mathbf{F}_2) \cdot \mathbf{n} = (8\mathbf{i} - 2\mathbf{k}) \cdot \mathbf{i} = 8$

ゆえに、

$\qquad \oint_{C_4} \mathbf{F}_2 \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S_4} 8 dS = 8 \iint_{S_4} dS = 8 \cdot \text{面積}(S_4)$

$S_4$ は半径 2 の円なので、面積は $\pi (2)^2 = 4\pi$。

$\qquad \oint_{C_4} \mathbf{F}_2 \cdot d\mathbf{r} = 8 \cdot 4\pi = 32\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{S_3} \mathbf{F}_2 \cdot \mathbf{n} dS = 396\pi$

(2) $\oint_{C_4} \mathbf{F}_2 \cdot d\mathbf{r} = 32\pi$

## 問題5

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{F}_3(x,y,z) = \frac{4x-2y}{x^2+y^2+2}\mathbf{i} + \frac{4y+2x}{x^2+y^2+2}\mathbf{j}$ に対して、以下の積分を計算する。

(1) 領域 $V_5$ 上の体積分 $\iiint_{V_5} \nabla \cdot \mathbf{F}_3 dV$。ここで、$V_5$ は $x^2+y^2 \le 1$, $0 \le z \le 2$ を満たす円柱である。

(2) 面領域 $S_6$ 上の面積分 $\iint_{S_6} (\nabla \times \mathbf{F}_3) \cdot \mathbf{n} dS$。ここで、$S_6$ は平面 $z=2$ にあり、$x^2+y^2 \le 1$ を満たす円であり、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $z$ が正の向きである。

2. 解き方の手順

$\mathbf{F}_3 = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}$ とおく。ここで、$P(x,y,z) = \frac{4x-2y}{x^2+y^2+2}$、$Q(x,y,z) = \frac{4y+2x}{x^2+y^2+2}$ である。

(1) $\mathbf{F}_3$ の発散を計算する。

$\qquad \nabla \cdot \mathbf{F}_3 = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}$

$\qquad \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{4(x^2+y^2+2) - (4x-2y)(2x)}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4x^2+4y^2+8 - 8x^2+4xy}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{-4x^2+4y^2+4xy+8}{(x^2+y^2+2)^2}$

$\qquad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{4(x^2+y^2+2) - (4y+2x)(2y)}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4x^2+4y^2+8 - 8y^2-4xy}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{4x^2-4y^2-4xy+8}{(x^2+y^2+2)^2}$

$\qquad \nabla \cdot \mathbf{F}_3 = \frac{-4x^2+4y^2+4xy+8 + 4x^2-4y^2-4xy+8}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{16}{(x^2+y^2+2)^2}$

体積分を円柱座標系で計算する。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$ であり、$dV = r dz dr d\theta$ である。

$\qquad \iiint_{V_5} \nabla \cdot \mathbf{F}_3 dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 \frac{16}{(r^2+2)^2} r dz dr d\theta = 16 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr \int_0^2 dz$

$\qquad = 16 (2\pi) (2) \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr = 64\pi \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr$

$u = r^2+2$ と置くと、$du = 2r dr$ なので、$r dr = \frac{1}{2} du$ であり、$r=0 \Rightarrow u=2$、$r=1 \Rightarrow u=3$。

$\qquad = 64\pi \int_2^3 \frac{1}{2u^2} du = 32\pi \int_2^3 u^{-2} du = 32\pi [-u^{-1}]_2^3 = 32\pi (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = 32\pi (\frac{1}{6}) = \frac{16\pi}{3}$

(2) $\mathbf{F}_3$ の回転を計算する。

$\qquad \nabla \times \mathbf{F}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & 0 \end{vmatrix} = (\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\mathbf{i} + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x})\mathbf{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\mathbf{k} = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\mathbf{k}$

$\qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2(x^2+y^2+2) - (4y+2x)(2x)}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{2x^2+2y^2+4 - 8xy - 4x^2}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{-2x^2+2y^2-8xy+4}{(x^2+y^2+2)^2}$

$\qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-2(x^2+y^2+2) - (4x-2y)(2y)}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{-2x^2-2y^2-4 - 8xy + 4y^2}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{-2x^2+2y^2-8xy-4}{(x^2+y^2+2)^2}$

$\qquad \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-2x^2+2y^2-8xy+4 - (-2x^2+2y^2-8xy-4)}{(x^2+y^2+2)^2} = \frac{8}{(x^2+y^2+2)^2}$

したがって、 $\nabla \times \mathbf{F}_3 = \frac{8}{(x^2+y^2+2)^2} \mathbf{k}$ である。$S_6$ の法線ベクトルは $\mathbf{n} = \mathbf{k}$ なので、

$\qquad (\nabla \times \mathbf{F}_3) \cdot \mathbf{n} = \frac{8}{(x^2+y^2+2)^2}$

$\qquad \iint_{S_6} (\nabla \times \mathbf{F}_3) \cdot \mathbf{n} dS = \iint_{S_6} \frac{8}{(x^2+y^2+2)^2} dS$

面積分を極座標系で計算する。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dS = r dr d\theta$ である。

$\qquad = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{8}{(r^2+2)^2} r dr d\theta = 8 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr = 8 (2\pi) \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr = 16\pi \int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr$

上で計算したように、$\int_0^1 \frac{r}{(r^2+2)^2} dr = \frac{1}{6}$ なので、

$\qquad = 16\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{8\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\iiint_{V_5} \nabla \cdot \mathbf{F}_3 dV = \frac{16\pi}{3}$

(2) $\iint_{S_6} (\nabla \times \mathbf{F}_3) \cdot \mathbf{n} dS = \frac{8\pi}{3}$