## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

この問題は、関数、需要と供給、消費関数、予算制約式に関するいくつかの小問から構成されています。具体的には、

1. 与えられた関数のグラフを描く。

2. 需要関数と供給関数が与えられたときに、グラフを描き、均衡価格と均衡数量を求める。また、需要関数の変化に対する均衡価格と均衡数量の変化を求める。

3. 消費関数が与えられたときに、グラフを描き、限界消費性向と平均消費性向を求める。

4. 予算制約式を求め、図示する。

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2. 解き方の手順

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1. 関数のグラフ**

(1) $-2y + 7x + 6 = 0$ を $y$ について解くと、$y = \frac{7}{2}x + 3$ となる。これは傾きが $\frac{7}{2}$、y切片が3の直線である。

(2) $y = \frac{x-1}{x-3}$ は分数関数である。漸近線を求め、グラフを描く。垂直漸近線は $x=3$。水平漸近線は $y=1$。

(3) $y = x^2 - 6x + 4$ は二次関数である。平方完成すると、$y = (x - 3)^2 - 5$ となる。頂点は $(3, -5)$ であり、下に凸の放物線である。

(4) $y = \sqrt{x+3} - 2$ はルート関数である。$\sqrt{x}$のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に-2だけ平行移動したグラフになる。定義域は $x \geq -3$。

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2. 需要と供給**

(1) 需要関数 $D = 300 - P$ と供給関数 $S = -30 + \frac{1}{2}P$ のグラフを描く。

均衡点は需要と供給が等しくなる点なので、$300 - P = -30 + \frac{1}{2}P$ を解く。

$\frac{3}{2}P = 330$ より、$P = 220$ (均衡価格)。

$D = 300 - 220 = 80$ (均衡数量)。

(2) 新しい需要関数は $D = 330 - P$ である。供給関数は変わらないので、$330 - P = -30 + \frac{1}{2}P$ を解く。

$\frac{3}{2}P = 360$ より、$P = 240$ (新しい均衡価格)。

$D = 330 - 240 = 90$ (新しい均衡数量)。

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3. 消費関数**

(1) 消費関数 $C = 50 + 0.75Y$ のグラフを描く。これは傾きが 0.75、C切片が 50 の直線である。Y ≥ 0 なので、$Y$が負の値をとる部分は考慮しない。

(2) 限界消費性向（MPC）は、所得が1単位増加したときに消費がどれだけ増加するかを表す。この関数では、MPCは $0.75$。

(3) 平均消費性向（APC）は、総所得に対する総消費の割合を表す。$APC = \frac{C}{Y}$。$Y = 100$ のとき、$C = 50 + 0.75(100) = 50 + 75 = 125$。よって、$APC = \frac{125}{100} = 1.25$。

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4. 予算制約式**

(1) コーヒーの消費量を $x$ (g)、紅茶の消費量を $y$ (g) とする。コーヒーの価格は 1g あたり 10円、紅茶の価格は 1g あたり 2円。予算は 5000円。

予算制約式は $10x + 2y = 5000$。

(2) 予算制約式 $10x + 2y = 5000$ を $y$ について解くと、$y = -5x + 2500$ となる。これは傾きが-5、y切片が2500の直線である。x切片は $x = 500$。x軸、y軸、そしてこの直線で囲まれた三角形が予算制約式を図示したものになる。$x, y \geq 0$ の範囲で考える。

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3. 最終的な答え

1. (1) $y = \frac{7}{2}x + 3$ (直線)

(2) $y = \frac{x-1}{x-3}$ (分数関数、漸近線はx=3, y=1)

(3) $y = (x - 3)^2 - 5$ (放物線、頂点は(3, -5))

(4) $y = \sqrt{x+3} - 2$ (ルート関数)

2. (1) 均衡価格: 220、均衡数量: 80

(2) 新しい均衡価格: 240、新しい均衡数量: 90

3. (1) グラフは傾き0.75、C切片50の直線

(2) 限界消費性向: 0.75

(3) 平均消費性向(Y=100): 1.25

4. (1) 予算制約式: $10x + 2y = 5000$

(2) グラフは傾き-5、y切片2500の直線 ($x, y \geq 0$ の範囲)