与えられた正弦波の式 $y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{t}{4.0 \text{ s}} + \frac{x}{10 \text{ m}} \right)$ について、以下の問いに答える。 (1) 振幅、周期、波長、速さ、波の進む向きを求める。 (2) 位置 $x = 5.0 \text{ m}$ における媒質の変位 $y$ を表す式を求める。 (3) 時刻 $t = 1.0 \text{ s}$ における波形を表す式を求める。

1. 問題の内容

与えられた正弦波の式 $y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{t}{4.0 \text{ s}} + \frac{x}{10 \text{ m}} \right)$ について、以下の問いに答える。

(1) 振幅、周期、波長、速さ、波の進む向きを求める。

(2) 位置 $x = 5.0 \text{ m}$ における媒質の変位 $y$ を表す式を求める。

(3) 時刻 $t = 1.0 \text{ s}$ における波形を表す式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた波の式を一般式 $y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)$ と比較する。

ここで、$A$ は振幅、$T$ は周期、$\lambda$ は波長である。

振幅：$A = 3.0 \text{ m}$

周期：$T = 4.0 \text{ s}$

波長：$\lambda = 10 \text{ m}$

波の速さ $v$ は、$v = \frac{\lambda}{T}$ で求められる。

$v = \frac{10 \text{ m}}{4.0 \text{ s}} = 2.5 \text{ m/s}$

$2\pi$の中が $(+)$ なので、波はx軸の負の方向に進む。

(2)

$x = 5.0 \text{ m}$ を与えられた波の式に代入する。

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{t}{4.0 \text{ s}} + \frac{5.0 \text{ m}}{10 \text{ m}} \right)$

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{t}{4.0 \text{ s}} + \frac{1}{2} \right)$

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} t + \pi \right)$

(3)

$t = 1.0 \text{ s}$ を与えられた波の式に代入する。

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{1.0 \text{ s}}{4.0 \text{ s}} + \frac{x}{10 \text{ m}} \right)$

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin 2\pi \left( \frac{1}{4} + \frac{x}{10 \text{ m}} \right)$

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi x}{5} \right)$

3. 最終的な答え

(1)

振幅: $3.0 \text{ m}$

周期: $4.0 \text{ s}$

波長: $10 \text{ m}$

速さ: $2.5 \text{ m/s}$

進む向き: x軸の負の方向

(2)

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} t + \pi \right)$

(3)

$y = 3.0 \text{ m} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi x}{5} \right)$