ベクトル関数 $\mathbf{A}(x,y,z) = y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ と $\mathbf{B}(x,y,z) = (2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}$ に対して、以下の演算を行う。 (1) $\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$ (2) $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ (3) $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ (4) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{A}(x,y,z) = y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ と $\mathbf{B}(x,y,z) = (2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}$ に対して、以下の演算を行う。

(1) $\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

(2) $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$

(3) $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$

(4) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$ を計算する。

まず、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ を計算する。

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (y\mathbf{j} + z\mathbf{k}) \cdot ((2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}) = y(2y-z) + z(2z-y) = 2y^2 - yz + 2z^2 - yz = 2y^2 + 2z^2 - 2yz$

次に、$\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$ を計算する。

$\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \frac{\partial}{\partial x}(2y^2 + 2z^2 - 2yz)\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}(2y^2 + 2z^2 - 2yz)\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}(2y^2 + 2z^2 - 2yz)\mathbf{k} = 0\mathbf{i} + (4y - 2z)\mathbf{j} + (4z - 2y)\mathbf{k} = (4y-2z)\mathbf{j} + (4z-2y)\mathbf{k}$

(2) $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ を計算する。

まず、$\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ を計算する。

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & y & z \\ 0 & 2y-z & 2z-y \end{vmatrix} = (y(2z-y) - z(2y-z))\mathbf{i} - (0 - 0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = (2yz - y^2 - 2yz + z^2)\mathbf{i} = (z^2 - y^2)\mathbf{i}$

次に、$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ を計算する。

$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \frac{\partial}{\partial x}(z^2 - y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

(3) $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ を計算する。

$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \nabla \times ((z^2-y^2)\mathbf{i}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z^2-y^2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0-0)\mathbf{i} - (0 - 2z)\mathbf{j} + (0 - (-2y))\mathbf{k} = 2z\mathbf{j} + 2y\mathbf{k}$

(4) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ を計算する。

$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = (y\frac{\partial}{\partial y} + z\frac{\partial}{\partial z})((2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}) = y\frac{\partial}{\partial y}((2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}) + z\frac{\partial}{\partial z}((2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k}) = y(2\mathbf{j} - \mathbf{k}) + z(-\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = (2y-z)\mathbf{j} + (-y+2z)\mathbf{k} = (2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k} = \mathbf{B}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (4y-2z)\mathbf{j} + (4z-2y)\mathbf{k}$

(2) $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0$

(3) $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 2z\mathbf{j} + 2y\mathbf{k}$

(4) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = (2y-z)\mathbf{j} + (2z-y)\mathbf{k} = \mathbf{B}$