半径 $a$ の薄い円板が一様な表面電荷密度 $\sigma$ で帯電している。円板の中心から距離 $z$ 離れた円板の中心軸上の点 $P$ における電位 $V$ を求めよ。面積素片 $dS = r dr d\phi$ からの電位 $dV$ は $dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma dS}{\sqrt{r^2+z^2}}$ で与えられ、$d S = r d r d \phi$である。

1. 問題の内容

半径 $a$ の薄い円板が一様な表面電荷密度 $\sigma$ で帯電している。円板の中心から距離 $z$ 離れた円板の中心軸上の点 $P$ における電位 $V$ を求めよ。面積素片 $dS = r dr d\phi$ からの電位 $dV$ は $dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma dS}{\sqrt{r^2+z^2}}$ で与えられ、$d S = r d r d \phi$である。

2. 解き方の手順

まず、$dV$ の式に $dS = r dr d\phi$ を代入する。

$dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma r dr d\phi}{\sqrt{r^2+z^2}}$

次に、この式を円板全体にわたって積分する。$r$ は $0$ から $a$ まで、$\phi$ は $0$ から $2\pi$ まで積分する。

$V = \int dV = \int_0^{2\pi} \int_0^a \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma r}{\sqrt{r^2+z^2}} dr d\phi$

$\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}$ は定数なので積分の外に出せる。

$V = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} \int_0^a \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}} dr d\phi$

$r$ についての積分を行う。$\int \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}} dr = \sqrt{r^2+z^2}$ である。

$V = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} [\sqrt{r^2+z^2}]_0^a d\phi = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} (\sqrt{a^2+z^2} - \sqrt{z^2}) d\phi = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|) d\phi$

ここで、$z$ は定数なので、$\sqrt{a^2+z^2}-|z|$ も定数である。よって、$\phi$ での積分は

$V = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|) \int_0^{2\pi} d\phi = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|) [ \phi ]_0^{2\pi} = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|) (2\pi)$

$V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|)$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (\sqrt{a^2+z^2} - |z|)$