数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ および初期条件 $a_1 = 7$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ および初期条件 $a_1 = 7$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ を特性方程式を用いて解きます。特性方程式は

$$x = 6x - 10$$

これを解くと、

$$5x = 10$$

$$x = 2$$

となります。よって、漸化式は

$$a_{n+1} - 2 = 6(a_n - 2)$$

と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 6b_n$ となり、$b_n$ は公比 6 の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 2 = 7 - 2 = 5$ です。

したがって、$b_n$ の一般項は

$$b_n = 5 \cdot 6^{n-1}$$

となります。

$a_n = b_n + 2$ より、

$$a_n = 5 \cdot 6^{n-1} + 2$$

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 6^{n-1} + 2$