ある空間における電位 $V$ が $V = (2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3)^2$ で与えられている。 (1) 点 $(2, -1, -1)$ における電位 $V$ を求める。 (2) 電界 $\vec{E}$ を求める。ただし、$\vec{E} = -\nabla V$ である。

1. 問題の内容

ある空間における電位 $V$ が $V = (2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3)^2$ で与えられている。

(1) 点 $(2, -1, -1)$ における電位 $V$ を求める。

(2) 電界 $\vec{E}$ を求める。ただし、$\vec{E} = -\nabla V$ である。

2. 解き方の手順

(1) 電位 $V$ の式に、点 $(2, -1, -1)$ の座標を代入する。

$x = 2$, $y = -1$, $z = -1$ なので、

$V = (2(2) + 1)^2 (2 - (-1))^2 (-1 + 3)^2 = (5)^2 (3)^2 (2)^2 = 25 \cdot 9 \cdot 4 = 900$

(2) 電界 $\vec{E}$ は電位 $V$ の勾配の負の値である。つまり、

$\vec{E} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k})$

各偏微分を計算する。

$\frac{\partial V}{\partial x} = 2(2x + 1)(2) (2 - y)^2 (z + 3)^2 = 4(2x + 1)(2 - y)^2 (z + 3)^2$

$\frac{\partial V}{\partial y} = (2x + 1)^2 2(2 - y)(-1) (z + 3)^2 = -2(2x + 1)^2 (2 - y) (z + 3)^2$

$\frac{\partial V}{\partial z} = (2x + 1)^2 (2 - y)^2 2(z + 3) = 2(2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3)$

したがって、

$\vec{E} = -[4(2x + 1)(2 - y)^2 (z + 3)^2 \hat{i} - 2(2x + 1)^2 (2 - y) (z + 3)^2 \hat{j} + 2(2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3) \hat{k}]$

$\vec{E} = -4(2x + 1)(2 - y)^2 (z + 3)^2 \hat{i} + 2(2x + 1)^2 (2 - y) (z + 3)^2 \hat{j} - 2(2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3) \hat{k}$

3. 最終的な答え

(1) 点 $(2, -1, -1)$ における電位 $V = 900$

(2) 電界 $\vec{E} = -4(2x + 1)(2 - y)^2 (z + 3)^2 \hat{i} + 2(2x + 1)^2 (2 - y) (z + 3)^2 \hat{j} - 2(2x + 1)^2 (2 - y)^2 (z + 3) \hat{k}$