直線 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ が行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ によって変換された後の直線の方程式を求めます。

## 問題9-1 (1)

1. 問題の内容

直線 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ が行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ によって変換された後の直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

元の直線を媒介変数表示します。

$\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3} = t$ とおくと、

$x = 2t + 1$

$y = t - 2$

$z = 3t - 1$

となります。

これを列ベクトルで表すと、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t+1 \\ t-2 \\ 3t-1 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、与えられた行列を$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ とします。

変換後の座標を $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \left( t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) = t A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3+6 \\ 4+1+0 \\ 6+2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-6-2 \\ 2-2+0 \\ 3-4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 11 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となります。

$x' = 11t - 7$

$y' = 5t$

$z' = 5t$

となります。

$y' = z'$ かつ $t = \frac{y'}{5}$なので、$x' = 11 (\frac{y'}{5}) - 7$

よって、$5x' = 11y' - 35$ となります。

3. 最終的な答え

$5x - 11y + 35 = 0$ かつ $y = z$