与えられた図形（直線や平面）を、指定された行列によって変換した後の図形の方程式を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題9-1の(1)から(5)を順に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた図形（直線や平面）を、指定された行列によって変換した後の図形の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

* 変換前の点の座標を $(x, y, z)$、変換後の点の座標を $(x', y', z')$とします。

* 行列による変換の関係式を立てます。例えば、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

* この式を、$x, y, z$について解きます。

* 変換前の図形の方程式に、$x, y, z$を代入し、$x', y', z'$の関係式を求めます。

* $x', y', z'$ をそれぞれ $x, y, z$ と書き直します。

**(1)**

変換前の直線の方程式は $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ です。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

より、

$x' = x + 3y + 2z$

$y' = 2x + y$

$z' = 3x + 2y - z$

この連立方程式を $x, y, z$ について解くのは煩雑なので、ここでは $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3} = t$ とパラメータ表示します。

すると、$x = 2t+1, y = t-2, z = 3t-1$ となります。

これらを上の式に代入すると、

$x' = (2t+1) + 3(t-2) + 2(3t-1) = 2t+1+3t-6+6t-2 = 11t - 7$

$y' = 2(2t+1) + (t-2) = 4t+2+t-2 = 5t$

$z' = 3(2t+1) + 2(t-2) - (3t-1) = 6t+3+2t-4-3t+1 = 5t$

$y' = z'$ が成り立ち、 $t = \frac{y'}{5}$ なので、

$x' = 11(\frac{y'}{5}) - 7$

$5x' = 11y' - 35$

$5x - 11y + 35 = 0$ かつ $y = z$

**(2)**

変換前の図形は $x = 2$ かつ $y + z - 4 = 0$ です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ です。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

より、

$x' = 3x - y - z$

$y' = -3x + y + z$

$z' = 3x + 3y + 3z$

$x = 2$ を代入すると、

$x' = 6 - y - z$

$y' = -6 + y + z$

$z' = 6 + 3y + 3z$

$y+z = 4$ なので、$x' = 6 - 4 = 2$ および $y' = -6+4 = -2$。したがって、$x = 2$ かつ $y = -2$。

$z' = 6 + 3(y+z) = 6 + 3(4) = 18$

したがって、$x = 2, y = -2$

**(3)**

変換前の直線の方程式は $x-2 = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{3}$ です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ です。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$x' = 5x - y$

$y' = -x + 2y - 3z$

$z' = -3y + 5z$

$x-2 = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{3} = t$ とパラメータ表示すると、$x = t+2, y = 5t+1, z = 3t-1$。

これらを上の式に代入すると、

$x' = 5(t+2) - (5t+1) = 5t+10-5t-1 = 9$

$y' = -(t+2) + 2(5t+1) - 3(3t-1) = -t-2+10t+2-9t+3 = 3$

$z' = -3(5t+1) + 5(3t-1) = -15t-3+15t-5 = -8$

したがって、$x = 9, y = 3, z = -8$

**(4)**

変換前の平面の方程式は $2x - y + z - 3 = 0$ です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ です。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$x' = x + 3y + z$

$y' = 2x + y$

$z' = -x + y + 2z$

$x = y' - \frac{y}{2}$

$2x - y + z - 3 = 0$ より $z = 3 - 2x + y$

$x' = x + 3y + 3 - 2x + y = -x + 4y + 3$

$x' = - \frac{y' - y}{2} + 4y + 3$

$2x' = -y' + y + 8y + 6$

$2x' + y' = 9y + 6$

$y = \frac{2x'+y'-6}{9}$

$y' = 2x + y = 2x + \frac{2x'+y'-6}{9}$

$9y' = 18x + 2x' + y' - 6$

$8y' - 2x' + 6 = 18x$

$x = \frac{8y' - 2x' + 6}{18} = \frac{4y'-x'+3}{9}$

$z = 3 - 2x + y = 3 - 2(\frac{4y'-x'+3}{9}) + \frac{2x'+y'-6}{9}$

$9z = 27 - 8y' + 2x' -6 + 2x' + y' - 6 = 15 - 7y' + 4x'$

$9z = 4x' - 7y' + 15$

$x' + \frac{4y'-x'+3}{3} + \frac{4x' - 7y' + 15}{9}$

$x = \frac{4y-x+3}{9}$

$y = \frac{2x+y-6}{9}$

$z = \frac{4x - 7y+15}{9}$

$2x -y + z -3=0$ に代入すると、

$\frac{8y-2x+6}{9} - \frac{2x+y-6}{9} + \frac{4x - 7y+15}{9} -3 = 0$

$8y-2x+6 - 2x-y+6 + 4x - 7y+15 -27 = 0$

$0 = 0$

$2x-y+z=3$

$z = 3-2x+y$

$x = x+3y+3-2x+y = -x+4y+3 \rightarrow 2x= -x+4y+3$

**(5)**

変換前の平面の方程式は $x + 2y - 3z - 5 = 0$ です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ です。

$x' = x + 2y$

$y' = 2y + z$

$z' = 2x + y + 3z$

$z = y'-2y$

$x = x' - 2y$

$(x'-2y) + 2y - 3(y'-2y) - 5 = 0$

$x'-2y + 2y - 3y' + 6y - 5 = 0$

$x' - 3y' + 6y - 5 = 0$

$6y = 3y' - x' + 5$

$y = \frac{3y' - x' + 5}{6}$

$x = x'-2\frac{3y' - x' + 5}{6} = x' - \frac{3y' - x' + 5}{3}$

$3x = 3x' - 3y' + x' - 5$

$x = \frac{4x'-3y'-5}{3}$

$z = y'-2 \frac{3y' - x' + 5}{6} = y' - \frac{3y' - x' + 5}{3}$

$3z = 3y' - 3y' + x' - 5$

$z = \frac{x'-5}{3}$

$\frac{4x-3y-5}{3} = x$

$\frac{3y-x+5}{6}= y$

$\frac{x-5}{3}= z$

$x+2y-3z = 5$

$\frac{4x'-3y'-5}{3} + 2\frac{3y'-x'+5}{6} -3\frac{x'-5}{3} - 5 = 0$

$2(4x'-3y'-5) + 2(3y'-x'+5) -6x'+30 -30= 0$

$8x'-6y'-10 + 6y'-2x'+10 - 6x' = 0$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 11y + 35 = 0$ かつ $y = z$

(2) $x = 2, y = -2$

(3) $x = 9, y = 3, z = -8$

(4) $0=0$

(5) $0 = 0$