集合 $A = \{x \mid x < -1, 4 < x\}$ と $B = \{x \mid x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \mid x < -1, 4 < x\}$ と $B = \{x \mid x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、$A$と$B$を数直線で考えるとわかりやすいです。

(1) $A \cap B$: $A$と$B$の両方に含まれる範囲を求めます。

$A$は、$x < -1$または$4 < x$

$B$は、$x \le -3$または$2 \le x$

$A \cap B$は、$x \le -3$または$4 < x$となります。したがって、選択肢から考えると「ウ」 $\{x \mid x \le -3, 4 < x\}$ が該当します。

(2) $A \cup B$: $A$または$B$に含まれる範囲を求めます。

$A$は、$x < -1$または$4 < x$

$B$は、$x \le -3$または$2 \le x$

$A \cup B$は、$x < -1$または$2 \le x$となります。したがって、選択肢から考えると「エ」$\{x \mid x < -1, 2 \le x\}$ が該当します。

(3) $\overline{A} \cap B$: $\overline{A}$は$A$の補集合なので、$-1 \le x \le 4$です。これと$B$の共通部分を求めます。

$B$は、$x \le -3$または$2 \le x$なので、$\overline{A} \cap B$は、$2 \le x \le 4$となります。したがって、選択肢から考えると「ケ」$\{x \mid 2 \le x \le 4\}$ が該当します。

(4) $A \cup \overline{B}$: $\overline{B}$は$B$の補集合なので、$-3 < x < 2$です。これと$A$の和集合を求めます。

$A$は、$x < -1$または$4 < x$なので、$A \cup \overline{B}$は、$x < 2$または$4 < x$となります。したがって、選択肢から考えると「オ」$\{x \mid x < 2, 4 < x\}$が該当します。

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) エ

(3) ケ

(4) オ