以下の連立一次方程式について、与えられた問いに答えます。 $\begin{cases} 2x_1 - 6x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 - 9x_2 - x_3 = 9 \\ -x_1 + 3x_2 + 2x_3 = -8 \end{cases}$ (1) 上の連立一次方程式の拡大係数行列を簡約化する。 (2) 上の連立一次方程式の係数行列をAと書くとき、同次形の連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の自明でない解 $\vec{x}$ があれば、それを一つ書く。 (3) Aの階数はいくつか。 (4) 上の連立一次方程式を解く（解をすべて求める）。 (5) 上の係数行列Aに対し、連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は任意の3次の列ベクトル $\vec{b}$ に対して解を持つと言えるか。理由も含めて答える。

はい、承知いたしました。与えられた連立一次方程式に関する問題ですね。

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式について、与えられた問いに答えます。

$\begin{cases}

2x_1 - 6x_2 + x_3 = 1 \\

3x_1 - 9x_2 - x_3 = 9 \\

-x_1 + 3x_2 + 2x_3 = -8

\end{cases}$

(1) 上の連立一次方程式の拡大係数行列を簡約化する。

(2) 上の連立一次方程式の係数行列をAと書くとき、同次形の連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の自明でない解 $\vec{x}$ があれば、それを一つ書く。

(3) Aの階数はいくつか。

(4) 上の連立一次方程式を解く（解をすべて求める）。

(5) 上の係数行列Aに対し、連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は任意の3次の列ベクトル $\vec{b}$ に対して解を持つと言えるか。理由も含めて答える。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を簡約化します。

拡大係数行列は以下のようになります。

$\begin{bmatrix}

2 & -6 & 1 & 1 \\

3 & -9 & -1 & 9 \\

-1 & 3 & 2 & -8

\end{bmatrix}$

まず、1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\

3 & -9 & -1 & 9 \\

-1 & 3 & 2 & -8

\end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\

0 & 0 & -5/2 & 15/2 \\

-1 & 3 & 2 & -8

\end{bmatrix}$

3行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\

0 & 0 & -5/2 & 15/2 \\

0 & 0 & 5/2 & -15/2

\end{bmatrix}$

2行目を-2/5倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\

0 & 0 & 1 & -3 \\

0 & 0 & 5/2 & -15/2

\end{bmatrix}$

3行目から2行目の5/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\

0 & 0 & 1 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

1行目から2行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

(2) 同次連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の自明でない解を求めます。

係数行列Aは以下のようになります。

$A = \begin{bmatrix}

2 & -6 & 1 \\

3 & -9 & -1 \\

-1 & 3 & 2

\end{bmatrix}$

簡約化された拡大係数行列から、同次連立一次方程式の解は以下のように書けます。

$x_1 = 3x_2$

$x_3 = 0$

$x_2$ は任意の値を取ることができます。例えば、$x_2 = 1$ とすると、$x_1 = 3$、$x_3 = 0$ となります。

したがって、自明でない解の一つは $\vec{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

(3) Aの階数を求めます。

簡約化された拡大係数行列から、Aの階数は2です。

(4) 与えられた連立一次方程式を解きます。

簡約化された拡大係数行列から、解は以下のように書けます。

$x_1 - 3x_2 = 2$

$x_3 = -3$

したがって、$x_1 = 3x_2 + 2$、$x_3 = -3$、$x_2$ は任意の値を取ることができます。

解は $\begin{bmatrix} 3x_2 + 2 \\ x_2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と表すことができます。

(5) 連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は任意の3次の列ベクトル $\vec{b}$ に対して解を持つと言えるか。

Aの階数は2であり、3より小さいです。したがって、Aは正則ではありません。つまり、$A\vec{x}=\vec{b}$ は任意の $\vec{b}$ に対して解を持つとは限りません。$A\vec{x}=\vec{b}$が解を持つためには、$\vec{b}$ がAの列ベクトルの線形結合で表せる必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 簡約化された拡大係数行列:

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

(2) 自明でない解の一例:

$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) Aの階数:

2

(4) 連立一次方程式の解:

$\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ($x_2$は任意)

(5) 任意の $\vec{b}$ に対して解を持つとは言えない。理由はAが正則でないから。