6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 5 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える。 (1) $\tau \circ \sigma$ を求める。 (2) $\sigma^{-1}$ を求める。 (3) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 5 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える。

(1) $\tau \circ \sigma$ を求める。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

(3) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \circ \sigma$ を求める。

合成写像 $\tau \circ \sigma$ は、まず $\sigma$ を適用し、次に $\tau$ を適用する。

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \tau(\sigma(3)) & \tau(\sigma(4)) & \tau(\sigma(5)) & \tau(\sigma(6)) \end{pmatrix}$

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \tau(3) & \tau(6) & \tau(1) & \tau(2) & \tau(4) & \tau(5) \end{pmatrix}$

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 3 & 2 & 1 & 6 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ の逆置換 $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ を互換の積で表す。

例えば、

$\sigma = (1 \ 3)(2 \ 6 \ 5 \ 4) = (1 \ 3)(2 \ 6)(6 \ 5)(5 \ 4)$

$\sigma$ は 4 つの互換の積で表せるので、$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^4 = 1$ である。

別の方法として、巡回置換分解も使える。

$\sigma = (1 \ 3)(2 \ 6 \ 5 \ 4)$

$(2 \ 6 \ 5 \ 4)$ は長さ 4 の巡回置換なので、これは 3 つの互換の積で表せる。よって$\sigma$は $1 + 3 = 4$ つの互換の積で表せる。

$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^4 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 3 & 2 & 1 & 6 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\text{sgn}(\sigma) = 1$