行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 5 \\ 4 & -7 & 0 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。 (1) $|P|$ (2) $|Q|$ (3) $|-2P|$ (4) $| {}^tP P^2 Q P^{-1}|$

1. 問題の内容

行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 5 \\ 4 & -7 & 0 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。

(1) $|P|$

(2) $|Q|$

(3) $|-2P|$

(4) $| {}^tP P^2 Q P^{-1}|$

2. 解き方の手順

(1) $|P|$ の計算

行列 $P$ の行列式は次のように計算できます。

$|P| = 1(5 \cdot 0 - 3 \cdot 2) - (-2)((-1) \cdot 0 - 3 \cdot 4) + 0((-1) \cdot 2 - 5 \cdot 4) = 1(-6) + 2(-12) + 0 = -6 - 24 = -30$

(2) $|Q|$ の計算

行列 $Q$ の行列式は次のように計算できます。

$|Q| = 5((-7) \cdot 7 - 0 \cdot (-1)) - (-5)(4 \cdot 7 - 0 \cdot 3) + 5(4 \cdot (-1) - (-7) \cdot 3) = 5(-49) + 5(28) + 5(-4 + 21) = -245 + 140 + 5(17) = -245 + 140 + 85 = -245 + 225 = -20$

(3) $|-2P|$ の計算

$|-2P| = (-2)^3 |P| = -8 |P| = -8(-30) = 240$

(4) $| {}^tP P^2 Q P^{-1}|$ の計算

行列式の性質 $|AB| = |A||B|$ と $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ を利用します。また、$| {}^tA | = |A|$ も利用します。

$| {}^tP P^2 Q P^{-1}| = | {}^tP | |P^2| |Q| |P^{-1}| = |P| |P|^2 |Q| \frac{1}{|P|} = |P|^2 |Q| = (-30)^2 (-20) = 900(-20) = -18000$

3. 最終的な答え

(1) $|P| = -30$

(2) $|Q| = -20$

(3) $|-2P| = 240$

(4) $| {}^tP P^2 Q P^{-1}| = -18000$