以下の連立一次方程式について、与えられた問いに答えます。 $$ \begin{cases} 3x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5 = 1 \\ -3x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 3 \\ -3x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = y \end{cases} $$

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式について、与えられた問いに答えます。

$$$$

\begin{cases}

3x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5 = 1 \\

-3x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 3 \\

-3x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = 2 \\

-3x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = y

\end{cases}

$$$$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を書き出す。

(2) 連立一次方程式の解が存在するための $y$ の満たすべき必要十分条件を求める。

(3) (2)の条件を満たすとき、拡大係数行列を被約階段行列に変形し、解のパラメータ表示を求める。

(1) 拡大係数行列

拡大係数行列は以下のようになります。

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

-3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 \\

-3 & -2 & 1 & -1 & 1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -1 & 1 & y

\end{bmatrix}

$$$$

(2) 解が存在するための $y$ の条件

拡大係数行列を簡約化して、解が存在するための $y$ の条件を求めます。

まず、1行目を基準に2行目、3行目、4行目を掃き出します。

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & 4 \\

0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & y+1

\end{bmatrix}

$$$$

次に、3行目を基準に2行目、4行目を掃き出します。

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & 4 \\

0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & y+1

\end{bmatrix}

$$$$

３行目と４行目の操作により、４行目は $-3x_2 = y+1$, 3行目は$-3x_2=3$。よって $y+1=3$, $y=2$である必要があります。

または３行目を-1/3倍すると $x_2 = -1$, 4行目より$x_2 = y+1$ となり、よって $y+1 = -1$ より、$y = -2$。

２行目の２で割ったものから３行目を引くと０＝１の形になるので、２行目は他の行からの情報がないとすると、３行目の$-3x_2=3$, 4行目は$x_2=y+1$となるので $x_2=-1$, $x_2 = y+1$. よって $y+1 = -1$より $y=-2$が必要となります。

(3) 解のパラメータ表示

$y=-2$ のとき、拡大係数行列は

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

-3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 \\

-3 & -2 & 1 & -1 & 1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2

\end{bmatrix}

$$$$

となります。掃き出し法を行います。

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & 4 \\

0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$$$

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 6 \\

0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$$$

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1/3 & 1/3 & -1/3 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1/4 & 3/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$$$

$x_3 = s$, $x_5 = t$ とすると、

$$$$

\begin{cases}

x_1 = s/3 - t/3 - x_4/3 \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = 3/2 -t/4\\

x_5 = t

\end{cases}

$$$$

$x_4=u, x_5 = t$とすると,

$$$$

\begin{cases}

x_1 = s/3 + t/3 -u/3 \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = u \\

x_5 = t

\end{cases}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) 拡大係数行列:

$$$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\

-3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 \\

-3 & -2 & 1 & -1 & 1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -1 & 1 & y

\end{bmatrix}

$$$$

(2) 解が存在するための $y$ の条件: $y = -2$

(3) 解のパラメータ表示:

$$$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{3}s - \frac{1}{3}x_4 + \frac{1}{3}x_5 \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = x_4\\

x_5 = x_5

\end{cases}

$$$$

ここで、$s, x_4, x_5$は任意の実数。

あるいは

$$$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}t \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}t \\

x_5 = t

\end{cases}

$$$$

ここで、$s, t$は任意の実数。