(1)の4x4行列式を第2行に関する展開で、(2)の4x4行列式を第3列に関する展開で計算する問題です。

1. 問題の内容

(1)の4x4行列式を第2行に関する展開で、(2)の4x4行列式を第3列に関する展開で計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列式

$$

\begin{vmatrix}

2 & -1 & 3 & 0 \\

-2 & 0 & 0 & 3 \\

1 & 3 & -2 & 1 \\

1 & 2 & 0 & 1

\end{vmatrix}

$$

第2行に関する展開は、

$$

(-1)^{2+1}(-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+2}(0) \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}(0) \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+4}(3) \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

$$

$$

= 2 \begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

$$

3x3行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1(-2-0) - 3(3-2) + 0 = 2 - 3 = -1

$$

$$

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2(0-(-4)) - (-1)(0-(-2)) + 3(2-3) = 8 + 2 - 3 = 7

$$

よって、

$$

2(-1) + 3(7) = -2 + 21 = 19

$$

(2) 行列式

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 0 & 2 \\

1 & 0 & 4 & 1 \\

2 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

$$

第3列に関する展開は、

$$

(-1)^{1+3}(0) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}(4) \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3}(1) \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{4+3}(0) \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}

$$

$$

= -4 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}

$$

3x3行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3(2-0) - 2(4-0) + 2(6-0) = 6 - 8 + 12 = 10

$$

$$

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3(0-3) - 2(2-0) + 2(3-0) = -9 - 4 + 6 = -7

$$

よって、

$$

-4(10) + (-7) = -40 - 7 = -47

$$

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) -47