(1) $2\cos\theta - \sin\theta = 1$ を満たす $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の組を求める問題。 (2) $2\cos^2\frac{\theta}{2} + \sin\theta - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \geq 0$ を $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で解く問題。

1. 問題の内容

(1) $2\cos\theta - \sin\theta = 1$ を満たす $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の組を求める問題。

(2) $2\cos^2\frac{\theta}{2} + \sin\theta - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \geq 0$ を $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で解く問題。

2. 解き方の手順

(1)

$2\cos\theta - \sin\theta = 1$ を変形します。

$\sin\theta = 2\cos\theta - 1$

両辺を2乗すると、

$\sin^2\theta = (2\cos\theta - 1)^2$

$1 - \cos^2\theta = 4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1$

$5\cos^2\theta - 4\cos\theta = 0$

$\cos\theta(5\cos\theta - 4) = 0$

$\cos\theta = 0$ または $\cos\theta = \frac{4}{5}$

$\cos\theta = 0$ のとき、$\sin\theta = 2(0) - 1 = -1$

$2\cos\theta - \sin\theta = 2(0) - (-1) = 1$ となるので、$(\cos\theta, \sin\theta) = (0, -1)$ は解。

$\cos\theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin\theta = 2(\frac{4}{5}) - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$

$2\cos\theta - \sin\theta = 2(\frac{4}{5}) - \frac{3}{5} = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$ となるので、$(\cos\theta, \sin\theta) = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ は解。

(2)

$2\cos^2\frac{\theta}{2} + \sin\theta - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \geq 0$

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$ より $2\cos^2\frac{\theta}{2} = \cos\theta + 1$

$\cos\theta + 1 + \sin\theta - \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \geq 0$

$\cos\theta + \sin\theta - \frac{\sqrt{6}}{2} \geq 0$

$\sin\theta + \cos\theta \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{4\pi - 3\pi}{12} \leq \theta \leq \frac{8\pi - 3\pi}{12}$

$\frac{\pi}{12} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $(\cos\theta, \sin\theta) = (0, -1), (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(2) $\frac{\pi}{12} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{12}$