ベクトル場 $\mathbf{A} = 2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ に対する面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める。ただし、$S$ は平面 $\pi: x+y+z=1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ で定義される領域であり、$d\mathbf{S}$ の方向は平面の法線方向（外向き）とする。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{A} = 2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ に対する面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める。ただし、$S$ は平面 $\pi: x+y+z=1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ で定義される領域であり、$d\mathbf{S}$ の方向は平面の法線方向（外向き）とする。

2. 解き方の手順

平面 $x+y+z=1$ を $z=f(x,y)=1-x-y$ と表す。

このとき、$d\mathbf{S} = \langle -f_x, -f_y, 1 \rangle dx dy = \langle 1, 1, 1 \rangle dx dy$ となる。

したがって、

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = (2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) dx dy = (2x + y + 2z) dx dy$

ここで、$z=1-x-y$ を代入すると、

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = (2x + y + 2(1-x-y)) dx dy = (2x + y + 2 - 2x - 2y) dx dy = (2-y) dx dy$

したがって、

$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D (2-y) dx dy$

ここで、$D$ は $xy$ 平面上の領域で、$x+y \le 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ で定義される。

$\iint_D (2-y) dx dy = \int_0^1 \int_0^{1-y} (2-y) dx dy = \int_0^1 (2-y) (1-y) dy = \int_0^1 (2 - 3y + y^2) dy = [2y - \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}y^3]_0^1 = 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{12-9+2}{6} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$