磁束密度 $B$ の空間中を速度 $v$ で移動する荷電粒子の運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = qv \times B$ が与えられている。ここで、$m$ は荷電粒子の質量、$q$ は電荷で定数である。 (1) $B = B_0k$, $v = v_x i + v_y j + v_z k$ のとき、粒子に働く力 $F$ を求める。 (2) 前問において、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式をそれぞれ求める。 (3) 時間 $t=0$ での初速度 $v(0) = v_0 i + v_1 k$ としたとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求める。

1. 問題の内容

磁束密度 $B$ の空間中を速度 $v$ で移動する荷電粒子の運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = qv \times B$ が与えられている。ここで、$m$ は荷電粒子の質量、$q$ は電荷で定数である。

(1) $B = B_0k$, $v = v_x i + v_y j + v_z k$ のとき、粒子に働く力 $F$ を求める。

(2) 前問において、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式をそれぞれ求める。

(3) 時間 $t=0$ での初速度 $v(0) = v_0 i + v_1 k$ としたとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 力 $F$ は $F = qv \times B$ で与えられる。ここで、

$v = v_x i + v_y j + v_z k$

$B = B_0 k$

であるから、

$v \times B = (v_x i + v_y j + v_z k) \times (B_0 k) = v_x B_0 (i \times k) + v_y B_0 (j \times k) + v_z B_0 (k \times k) = -v_x B_0 j + v_y B_0 i$

したがって、

$F = q (v \times B) = q (v_y B_0 i - v_x B_0 j) = q B_0 v_y i - q B_0 v_x j$

(2) 運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = qv \times B$ を成分で書くと、

$m \frac{dv_x}{dt} = q B_0 v_y$

$m \frac{dv_y}{dt} = -q B_0 v_x$

$m \frac{dv_z}{dt} = 0$

したがって、

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{q B_0}{m} v_y$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{q B_0}{m} v_x$

$\frac{dv_z}{dt} = 0$

(3) $\omega = \frac{q B_0}{m}$ とおく。

$\frac{dv_x}{dt} = \omega v_y$

$\frac{dv_y}{dt} = -\omega v_x$

$\frac{dv_z}{dt} = 0$

$v_z$ については、$\frac{dv_z}{dt} = 0$ より $v_z(t) = C$ （定数）。

初期条件 $v(0) = v_0 i + v_1 k$ より、$v_x(0) = v_0$, $v_y(0) = 0$, $v_z(0) = v_1$ であるから、$v_z(t) = v_1$

$v_x$ については、$\frac{d^2v_x}{dt^2} = \omega \frac{dv_y}{dt} = \omega (-\omega v_x) = -\omega^2 v_x$

$\frac{d^2v_x}{dt^2} + \omega^2 v_x = 0$

この微分方程式の一般解は、$v_x(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)$

初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$v_x(0) = A = v_0$

$\frac{dv_x}{dt} = -A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t) = \omega v_y$

$v_y = -A \sin (\omega t) + B \cos (\omega t)$

$v_y(0) = 0$ より、$v_y(0) = B = 0$

$v_y(t) = -v_0 \sin (\omega t)$

したがって、

$v_x(t) = v_0 \cos (\omega t)$

$v_y(t) = -v_0 \sin (\omega t)$

$v_z(t) = v_1$

3. 最終的な答え

(1) $F = q B_0 v_y i - q B_0 v_x j$

(2) $\frac{dv_x}{dt} = \frac{q B_0}{m} v_y$, $\frac{dv_y}{dt} = -\frac{q B_0}{m} v_x$, $\frac{dv_z}{dt} = 0$

(3) $v_x(t) = v_0 \cos (\frac{q B_0}{m} t)$, $v_y(t) = -v_0 \sin (\frac{q B_0}{m} t)$, $v_z(t) = v_1$