磁束密度 $B$ の空間中を速度 $v$ で移動する荷電粒子の運動方程式が $m\frac{dv}{dt} = qv \times B$ で与えられている。ここで、$m$ は粒子の質量、$q$ は電荷で定数である。以下の3つの問いに答える。 (1) $B = B_0 k$ および $v = v_x i + v_y j + v_z k$ のとき、粒子に働く力 $F$ を求める（$B_0$ は定数）。 (2) (1) の条件下で、$v_x, v_y, v_z$ についての微分方程式を求める。 (3) $t=0$ での初速度が $v(0) = v_0 i + v_1 k$ であるとき、$v_x, v_y, v_z$ を求める（$v_0, v_1$ は定数）。

1. 問題の内容

磁束密度 $B$ の空間中を速度 $v$ で移動する荷電粒子の運動方程式が $m\frac{dv}{dt} = qv \times B$ で与えられている。ここで、$m$ は粒子の質量、$q$ は電荷で定数である。以下の3つの問いに答える。

(1) $B = B_0 k$ および $v = v_x i + v_y j + v_z k$ のとき、粒子に働く力 $F$ を求める（$B_0$ は定数）。

(2) (1) の条件下で、$v_x, v_y, v_z$ についての微分方程式を求める。

(3) $t=0$ での初速度が $v(0) = v_0 i + v_1 k$ であるとき、$v_x, v_y, v_z$ を求める（$v_0, v_1$ は定数）。

2. 解き方の手順

(1) 力 $F$ は $F = qv \times B$ で与えられる。$v = v_x i + v_y j + v_z k$ および $B = B_0 k$ を代入して計算する。

$v \times B = (v_x i + v_y j + v_z k) \times (B_0 k) = v_x B_0 (i \times k) + v_y B_0 (j \times k) + v_z B_0 (k \times k) = -v_x B_0 j + v_y B_0 i$

したがって、$F = q(v_y B_0 i - v_x B_0 j) = qB_0 (v_y i - v_x j)$.

(2) 運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = qv \times B$ を成分ごとに書く。

$v = v_x i + v_y j + v_z k$ であるから、$\frac{dv}{dt} = \frac{dv_x}{dt}i + \frac{dv_y}{dt}j + \frac{dv_z}{dt}k$.

したがって、$m(\frac{dv_x}{dt}i + \frac{dv_y}{dt}j + \frac{dv_z}{dt}k) = qB_0(v_y i - v_x j)$.

成分ごとに比較すると、

$m\frac{dv_x}{dt} = qB_0 v_y$

$m\frac{dv_y}{dt} = -qB_0 v_x$

$m\frac{dv_z}{dt} = 0$

これより、

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qB_0}{m} v_y$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{qB_0}{m} v_x$

$\frac{dv_z}{dt} = 0$

(3) (2) の微分方程式を解く。

$\frac{dv_z}{dt} = 0$ より、$v_z(t) = C$ (定数)。初期条件 $v(0) = v_0 i + v_1 k$ より、$v_z(0) = v_1$ であるから、$v_z(t) = v_1$.

$\omega = \frac{qB_0}{m}$ とおくと、$\frac{dv_x}{dt} = \omega v_y$ および $\frac{dv_y}{dt} = -\omega v_x$.

$\frac{d^2 v_x}{dt^2} = \omega \frac{dv_y}{dt} = \omega (-\omega v_x) = -\omega^2 v_x$.

したがって、$\frac{d^2 v_x}{dt^2} + \omega^2 v_x = 0$. この微分方程式の解は $v_x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$.

$v_x(0) = v_0$ より、$v_x(0) = A = v_0$.

$v_y(t) = \frac{1}{\omega} \frac{dv_x}{dt} = \frac{1}{\omega} (-A\omega \sin(\omega t) + B\omega \cos(\omega t)) = -A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)$.

初期条件より、$v_y(0) = 0$ であるから、$v_y(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B = 0$.

したがって、$v_x(t) = v_0 \cos(\omega t)$ および $v_y(t) = -v_0 \sin(\omega t)$.

3. 最終的な答え

(1) $F = qB_0 (v_y i - v_x j)$

(2) $\frac{dv_x}{dt} = \frac{qB_0}{m} v_y$, $\frac{dv_y}{dt} = -\frac{qB_0}{m} v_x$, $\frac{dv_z}{dt} = 0$

(3) $v_x(t) = v_0 \cos(\frac{qB_0}{m} t)$, $v_y(t) = -v_0 \sin(\frac{qB_0}{m} t)$, $v_z(t) = v_1$