ニュートンの冷却法則に関する問題です。ある物体の温度変化が $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ で与えられています。ここで、$T$ は物体の温度、$T_0$ は周囲の温度、$k$ は定数です。$100^\circ\text{C}$ のお湯を $20^\circ\text{C}$ の大気中に置いたときに、以下の問いに答えます。 (1) 微分方程式を解き、温度 $T$ を時間 $t$ の関数で表してください。 (2) $100^\circ\text{C}$ のお湯は 1 分後に $60^\circ\text{C}$ になりました。このときの $k$ の値を求めてください。 (3) 4 分後のお湯の温度を求めてください。

## 問題4

1. 問題の内容

ニュートンの冷却法則に関する問題です。ある物体の温度変化が $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ で与えられています。ここで、$T$ は物体の温度、$T_0$ は周囲の温度、$k$ は定数です。$100^\circ\text{C}$ のお湯を $20^\circ\text{C}$ の大気中に置いたときに、以下の問いに答えます。

(1) 微分方程式を解き、温度 $T$ を時間 $t$ の関数で表してください。

(2) $100^\circ\text{C}$ のお湯は 1 分後に $60^\circ\text{C}$ になりました。このときの $k$ の値を求めてください。

(3) 4 分後のお湯の温度を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ を解きます。

まず、変数分離を行います。

$\frac{dT}{T - T_0} = -k dt$

両辺を積分します。

$\int \frac{dT}{T - T_0} = \int -k dt$

$\ln |T - T_0| = -kt + C_1$ ($C_1$ は積分定数)

絶対値を外し、指数関数を取ります。

$T - T_0 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt} = C e^{-kt}$ ($C = e^{C_1}$ は定数)

$T = T_0 + C e^{-kt}$

初期条件 $t = 0$ のとき $T = 100^\circ\text{C}$ を代入します。$T_0 = 20^\circ\text{C}$ です。

$100 = 20 + C e^{-k(0)}$

$100 = 20 + C$

$C = 80$

したがって、温度 $T$ は時間 $t$ の関数として次のように表されます。

$T = 20 + 80 e^{-kt}$

(2) $t = 1$ のとき $T = 60^\circ\text{C}$ を代入して、$k$ の値を求めます。

$60 = 20 + 80 e^{-k(1)}$

$40 = 80 e^{-k}$

$e^{-k} = \frac{1}{2}$

$-k = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$

$k = \ln 2$

(3) $t = 4$ のとき、$T$ の値を求めます。$k = \ln 2$ を代入します。

$T = 20 + 80 e^{-4 \ln 2} = 20 + 80 e^{\ln 2^{-4}} = 20 + 80 (2^{-4})$

$T = 20 + 80 \cdot \frac{1}{16} = 20 + 5 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $T = 20 + 80e^{-kt}$

(2) $k = \ln 2$

(3) $25^\circ\text{C}$

## 問題5

1. 問題の内容

放射性炭素 ($\text{}^{14}\text{C}$) を用いた年代測定に関する問題です。

(1) 時刻 $t$ における $\text{}^{14}\text{C}$ の量を $N(t)$ とすると、その崩壊速度 $\frac{dN(t)}{dt}$ は今残っている量 $N(t)$ に比例します。比例係数を $k$ として、$N(t)$ と崩壊速度の微分方程式を示してください。

(2) $\text{}^{14}\text{C}$ の半減期を 5,600 年とし、遺跡から見つかった木材が何年前に採取されたかを $\log 2 \approx 0.7$, $\log 3 \approx 1.1$, $\log 5 \approx 1.6$ として概算してください。生きていた木の $\text{}^{14}\text{C}$ の量は 15 dpm、遺跡から見つかった木材の $\text{}^{14}\text{C}$ の量は 12 dpm です。

2. 解き方の手順

(1) 崩壊速度 $\frac{dN(t)}{dt}$ は $N(t)$ に比例するので、比例係数を $-k$ (負の符号は崩壊を表す)とすると、以下の微分方程式が成り立ちます。

$\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$

(2) 微分方程式を解きます。

$\frac{dN}{N} = -k dt$

$\int \frac{dN}{N} = \int -k dt$

$\ln N = -kt + C_1$

$N = e^{-kt + C_1} = C e^{-kt}$ ($C = e^{C_1}$ は定数)

初期条件 $t = 0$ のとき、$N(0) = N_0$ とすると、$N_0$ は初期の $\text{}^{14}\text{C}$ の量です。

$N_0 = C e^0 = C$

したがって、$N(t) = N_0 e^{-kt}$

半減期 $T$ は、$\frac{N(T)}{N_0} = \frac{1}{2}$ を満たす時間です。与えられた半減期は 5600 年なので、$T = 5600$ です。

$\frac{1}{2} = e^{-k(5600)}$

$\ln \frac{1}{2} = -5600k$

$-\ln 2 = -5600k$

$k = \frac{\ln 2}{5600}$

生きていた木の $\text{}^{14}\text{C}$ の量は 15 dpm であり、遺跡から見つかった木材の $\text{}^{14}\text{C}$ の量は 12 dpm なので、採取されてからの時間を $t$ とすると、

$12 = 15 e^{-kt}$

$\frac{12}{15} = e^{-kt}$

$\frac{4}{5} = e^{-kt}$

$\ln \frac{4}{5} = -kt$

$t = -\frac{1}{k} \ln \frac{4}{5} = -\frac{5600}{\ln 2} \ln \frac{4}{5}$

$t = \frac{5600}{\ln 2} (\ln 5 - \ln 4) = \frac{5600}{\ln 2} (\ln 5 - 2 \ln 2)$

$\ln 2 \approx 0.7$ より、

$t \approx \frac{5600}{0.7} (\ln 5 - 2 \cdot 0.7) = 8000(\ln 5 - 1.4)$

$\ln 5 \approx 1.6$ より、

$t \approx 8000(1.6 - 1.4) = 8000(0.2) = 1600$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$

(2) 約 1600 年前