与えられた7つの対数の値を計算する問題です。 (1) $\log_5 625$ (2) $\log_2 \frac{1}{64}$ (3) $\log_3 \sqrt{27}$ (4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$ (5) $\log_{10} 0.001$ (6) $\log_5 250 - \log_5 2$ (7) $\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2$

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた7つの対数の値を計算する問題です。

(1) $\log_5 625$

(2) $\log_2 \frac{1}{64}$

(3) $\log_3 \sqrt{27}$

(4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

(5) $\log_{10} 0.001$

(6) $\log_5 250 - \log_5 2$

(7) $\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2$

2. 解き方の手順

それぞれの対数の値を計算します。

(1) $\log_5 625$:

$625 = 5^4$ より、$\log_5 625 = \log_5 5^4 = 4$.

(2) $\log_2 \frac{1}{64}$:

$\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$ より、$\log_2 \frac{1}{64} = \log_2 2^{-6} = -6$.

(3) $\log_3 \sqrt{27}$:

$\sqrt{27} = (27)^{\frac{1}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ より、$\log_3 \sqrt{27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$.

(4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$ より、$\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$.

(5) $\log_{10} 0.001$:

$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$ より、$\log_{10} 0.001 = \log_{10} 10^{-3} = -3$.

(6) $\log_5 250 - \log_5 2$:

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ より、

$\log_5 250 - \log_5 2 = \log_5 \frac{250}{2} = \log_5 125$.

$125 = 5^3$ より、$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.

(7) $\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2$:

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ より、

$\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2 = \log_{10} (500 \times 0.2) = \log_{10} 100$.

$100 = 10^2$ より、$\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$.

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -6

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$

(5) -3

(6) 3

(7) 2