以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。 $ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - 5y - z = 2 \\ 4x - 3y + z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。

$$

\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - 5y - z = 2 \\

4x - 3y + z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるために、係数行列とその行列式、およびそれぞれの変数に対応する行列式を計算します。

まず、係数行列 $A$ とその行列式 $|A|$ を計算します。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

3 & -5 & -1 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

|A| = 1 \cdot (-5 \cdot 1 - (-1) \cdot (-3)) - 1 \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 4) + 2 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 4) \\

= 1 \cdot (-5 - 3) - 1 \cdot (3 + 4) + 2 \cdot (-9 + 20) \\

= -8 - 7 + 2 \cdot 11 \\

= -15 + 22 \\

= 7

$$

次に、$x$、$y$、$z$ に対する行列式 $|A_x|$、$|A_y|$、$|A_z|$ を計算します。

$A_x$ は、$A$ の第一列を定数項で置き換えたものです。

$$

A_x = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & -5 & -1 \\

1 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

|A_x| = 0 \cdot (-5 \cdot 1 - (-1) \cdot (-3)) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 2 \cdot (2 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) \\

= 0 - 1 \cdot (2 + 1) + 2 \cdot (-6 + 5) \\

= -3 + 2 \cdot (-1) \\

= -3 - 2 \\

= -5

$$

$A_y$ は、$A$ の第二列を定数項で置き換えたものです。

$$

A_y = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & -1 \\

4 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

|A_y| = 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - 0 \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 4) + 2 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) \\

= 1 \cdot (2 + 1) - 0 + 2 \cdot (3 - 8) \\

= 3 + 2 \cdot (-5) \\

= 3 - 10 \\

= -7

$$

$A_z$ は、$A$ の第三列を定数項で置き換えたものです。

$$

A_z = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 \\

3 & -5 & 2 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

|A_z| = 1 \cdot (-5 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) - 1 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) + 0 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 4) \\

= 1 \cdot (-5 + 6) - 1 \cdot (3 - 8) + 0 \\

= 1 - (-5) \\

= 1 + 5 \\

= 6

$$

クラメルの公式より、解は次のようになります。

$$

x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-5}{7} \\

y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-7}{7} = -1 \\

z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{6}{7}

$$

3. 最終的な答え

$$

x = -\frac{5}{7}, \quad y = -1, \quad z = \frac{6}{7}

$$