以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。 $ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - 5y - z = 2 \\ 4x - 3y + z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。

$$

\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - 5y - z = 2 \\

4x - 3y + z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列とその行列式を計算します。

係数行列を $A$ とすると、

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

3 & -5 & -1 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

行列式 $|A|$ は、

$$

\begin{aligned}

|A| &= 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \\

&= 1 \cdot ((-5)(1) - (-1)(-3)) - 1 \cdot ((3)(1) - (-1)(4)) + 2 \cdot ((3)(-3) - (-5)(4)) \\

&= 1 \cdot (-5 - 3) - 1 \cdot (3 + 4) + 2 \cdot (-9 + 20) \\

&= 1 \cdot (-8) - 1 \cdot (7) + 2 \cdot (11) \\

&= -8 - 7 + 22 \\

&= 7

\end{aligned}

$$

次に、$x, y, z$ それぞれに対する行列式を計算します。

$|A_x|$ は、$A$ の第一列を定数項に置き換えた行列の行列式です。

$$

A_x = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & -5 & -1 \\

1 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{aligned}

|A_x| &= 0 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} \\

&= 0 - 1 \cdot ((2)(1) - (-1)(1)) + 2 \cdot ((2)(-3) - (-5)(1)) \\

&= -1 \cdot (2 + 1) + 2 \cdot (-6 + 5) \\

&= -1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) \\

&= -3 - 2 \\

&= -5

\end{aligned}

$$

$|A_y|$ は、$A$ の第二列を定数項に置き換えた行列の行列式です。

$$

A_y = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & -1 \\

4 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{aligned}

|A_y| &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \\

&= 1 \cdot ((2)(1) - (-1)(1)) - 0 + 2 \cdot ((3)(1) - (2)(4)) \\

&= 1 \cdot (2 + 1) + 2 \cdot (3 - 8) \\

&= 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-5) \\

&= 3 - 10 \\

&= -7

\end{aligned}

$$

$|A_z|$ は、$A$ の第三列を定数項に置き換えた行列の行列式です。

$$

A_z = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 \\

3 & -5 & 2 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{aligned}

|A_z| &= 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \\

&= 1 \cdot ((-5)(1) - (2)(-3)) - 1 \cdot ((3)(1) - (2)(4)) + 0 \\

&= 1 \cdot (-5 + 6) - 1 \cdot (3 - 8) \\

&= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-5) \\

&= 1 + 5 \\

&= 6

\end{aligned}

$$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-5}{7}$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-7}{7} = -1$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{5}{7}, y = -1, z = \frac{6}{7}$