以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。 $ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - 5y - z = 2 \\ 4x - 3y + z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。

$$

\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - 5y - z = 2 \\

4x - 3y + z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ と定数ベクトル $b$ を定義する。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

3 & -5 & -1 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}, \quad

b = \begin{pmatrix}

0 \\ 2 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

次に、行列式 $|A|$ を計算する。

$$

|A| = 1(-5 - 3) - 1(3 + 4) + 2(-9 + 20) = -8 - 7 + 22 = 7

$$

$|A| \ne 0$ であるから、クラメルの公式が使える。

$x$, $y$, $z$ を求めるために、それぞれ係数行列の該当する列を定数ベクトルで置き換えた行列式を計算する。

$$

|A_x| = \begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & -5 & -1 \\

1 & -3 & 1

\end{vmatrix} = 0(-5 - 3) - 1(2 + 1) + 2(-6 + 5) = -3 - 2 = -5

$$

$$

|A_y| = \begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & -1 \\

4 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 1(2 + 1) - 0(3 + 4) + 2(3 - 8) = 3 - 10 = -7

$$

$$

|A_z| = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 0 \\

3 & -5 & 2 \\

4 & -3 & 1

\end{vmatrix} = 1(-5 + 6) - 1(3 - 8) + 0(-9 + 20) = 1 + 5 = 6

$$

クラメルの公式より、

$$

x = \frac{|A_x|}{|A|}, \quad y = \frac{|A_y|}{|A|}, \quad z = \frac{|A_z|}{|A|}

$$

3. 最終的な答え

$$

x = \frac{-5}{7}, \quad y = \frac{-7}{7} = -1, \quad z = \frac{6}{7}

$$

したがって、

$$

(x, y, z) = \left(-\frac{5}{7}, -1, \frac{6}{7}\right)

$$