$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$のとき、式$x^2y - xy^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$のとき、式$x^2y - xy^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y - xy^2$を因数分解します。

$x^2y - xy^2 = xy(x-y)$

次に、$x$と$y$の値を代入して、$xy$と$x-y$の値を計算します。

$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

最後に、$xy(x-y)$にそれぞれの値を代入して計算します。

$xy(x-y) = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$