問題は以下の通りです。 (1) 公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 = 6$、$a_4 = 54$ が与えられている。数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = n^2 - 2n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) が成り立つ。$b_1$ を求めよ。また、数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $a_n$ の一の位の数を $c_n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) とする。$c_{50}$ を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4)$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 = 6$、$a_4 = 54$ が与えられている。数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = n^2 - 2n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) が成り立つ。$b_1$ を求めよ。また、数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $a_n$ の一の位の数を $c_n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) とする。$c_{50}$ を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公比を $r$ とすると、$a_n = ar^{n-1}$ と表せる。

$a_2 = ar = 6$

$a_4 = ar^3 = 54$

これらより、$ar^3 / ar = r^2 = 54/6 = 9$。公比は正なので、$r = 3$。

$a \cdot 3 = 6$ より、$a = 2$。

よって、初項は 2、公比は 3。

(2) $S_n = n^2 - 2n$ である。

$b_1 = S_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

$n \ge 2$ のとき、$b_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - ((n-1)^2 - 2(n-1)) = n^2 - 2n - (n^2 - 2n + 1 - 2n + 2) = n^2 - 2n - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3$

$n = 1$ のとき、$b_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$ となり、$n \ge 2$ の場合の式と一致する。

よって、$b_n = 2n - 3$。

(3) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ である。$a_n$ の一の位の数 $c_n$ を調べる。

$a_1 = 2 \cdot 3^0 = 2$, $c_1 = 2$

$a_2 = 2 \cdot 3^1 = 6$, $c_2 = 6$

$a_3 = 2 \cdot 3^2 = 18$, $c_3 = 8$

$a_4 = 2 \cdot 3^3 = 54$, $c_4 = 4$

$a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$, $c_5 = 2$

$a_6 = 2 \cdot 3^5 = 486$, $c_6 = 6$

$a_7 = 2 \cdot 3^6 = 1458$, $c_7 = 8$

$a_8 = 2 \cdot 3^7 = 4374$, $c_8 = 4$

一の位は 2, 6, 8, 4 の繰り返しとなる。周期は 4。

$50 \equiv 2 \pmod{4}$ より、$c_{50} = c_2 = 6$。

$\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4)$ を求める。

$c_k - 4$ は -2, 2, 4, 0 の繰り返し。

$\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4) = \sum_{k=1}^{50} (2k-3) (c_k - 4)$

周期4で和を考えると、

$(2 \cdot 1 - 3)(-2) + (2 \cdot 2 - 3)(2) + (2 \cdot 3 - 3)(4) + (2 \cdot 4 - 3)(0) = (-1)(-2) + (1)(2) + (3)(4) + (5)(0) = 2 + 2 + 12 + 0 = 16$

$50 = 4 \cdot 12 + 2$ なので、

$\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4) = 12 \cdot 16 + (2 \cdot 49 - 3)(-2) + (2 \cdot 50 - 3)(2) = 192 + (95)(-2) + (97)(2) = 192 - 190 + 194 = 196$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 2, 公比: 3

(2) $b_1 = -1$, $b_n = 2n - 3$

(3) $c_{50} = 6$, $\sum_{k=1}^{50} b_k (c_k - 4) = 196$