与えられた連立方程式 $\begin{cases} 3x - 5y + 9z = 0 \\ 4x - 3y + z = 0 \end{cases}$ を満たす $x$, $y$, $z$ の比 $x:y:z$ を最も簡単な整数の比で表す。ただし、$x$, $y$, $z$ はどれも0でないものとする。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$\begin{cases}

3x - 5y + 9z = 0 \\

4x - 3y + z = 0

\end{cases}$

を満たす $x$, $y$, $z$ の比 $x:y:z$ を最も簡単な整数の比で表す。ただし、$x$, $y$, $z$ はどれも0でないものとする。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を解く。

まず、第2式から $z$ を $x$ と $y$ で表す。

$z = -4x + 3y$

これを第1式に代入すると、

$3x - 5y + 9(-4x + 3y) = 0$

$3x - 5y - 36x + 27y = 0$

$-33x + 22y = 0$

$33x = 22y$

$3x = 2y$

$y = \frac{3}{2}x$

次に、$z$ を $x$ で表す。

$z = -4x + 3(\frac{3}{2}x)$

$z = -4x + \frac{9}{2}x$

$z = \frac{-8+9}{2}x$

$z = \frac{1}{2}x$

したがって、$x:y:z = x : \frac{3}{2}x : \frac{1}{2}x$

比を整数にするために、各項に2をかける。

$x:y:z = 2x : 3x : x$

$x$, $y$, $z$ はどれも0でないので、$x \neq 0$。よって、各項を $x$ で割ることができる。

$x:y:z = 2 : 3 : 1$

3. 最終的な答え

$x:y:z = 2:3:1$