次の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。 $ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - 5y - z = 2 \\ 4x - 3y + z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。

$$

\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - 5y - z = 2 \\

4x - 3y + z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるためには、まず係数行列の行列式を計算します。係数行列をAとすると、

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

3 & -5 & -1 \\

4 & -3 & 1

\end{pmatrix}

$$

行列式Dは

$$

D = \det(A) = 1(-5 - 3) - 1(3 + 4) + 2(-9 + 20) = -8 - 7 + 22 = 7

$$

次に、$x, y, z$を求めるために、それぞれに対応する列を定数項で置き換えた行列の行列式を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 \\

2 & -5 & -1 \\

1 & -3 & 1

\end{vmatrix} = 0(-5-3) - 1(2+1) + 2(-6+5) = 0 - 3 - 2 = -5

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & -1 \\

4 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 1(2+1) - 0(3+4) + 2(3-8) = 3 - 0 - 10 = -7

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 0 \\

3 & -5 & 2 \\

4 & -3 & 1

\end{vmatrix} = 1(-5+6) - 1(3-8) + 0(-9+20) = 1 + 5 + 0 = 6

$$

クラメルの公式より、$x, y, z$は次のようになります。

$$

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{7}

$$

$$

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{7} = -1

$$

$$

z = \frac{D_z}{D} = \frac{6}{7}

$$

3. 最終的な答え

$$

x = -\frac{5}{7}, y = -1, z = \frac{6}{7}

$$