与えられたベクトル $\vec{a}$ を、与えられたベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べ、表せる場合はその線形結合を求めます。具体的には、以下の4つの場合について、スカラー $x_1$ と $x_2$ を用いて、$\vec{a} = x_1\vec{b_1} + x_2\vec{b_2}$ と表せるかどうかを調べます。 (1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (3) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ (4) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}$ を、与えられたベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べ、表せる場合はその線形結合を求めます。具体的には、以下の4つの場合について、スカラー $x_1$ と $x_2$ を用いて、$\vec{a} = x_1\vec{b_1} + x_2\vec{b_2}$ と表せるかどうかを調べます。

(1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

(4) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 線形結合の式 $\vec{a} = x_1\vec{b_1} + x_2\vec{b_2}$ を成分ごとに書き出し、連立一次方程式を作成します。

2. 作成した連立一次方程式を解き、$x_1$ と $x_2$ の値を求めます。

3. 解が存在する場合、$\vec{a}$ は $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表すことができ、その係数が $x_1$ と $x_2$ となります。解が存在しない場合、$\vec{a}$ は $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表すことができません。

(1)

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

より、

$-2 = 3x_1 + x_2$

$1 = -x_1 + x_2$

これらを解くと、$x_1 = -\frac{3}{4}$, $x_2 = \frac{1}{4}$

(2)

$\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

より、

$5 = x_1 - x_2$

$1 = 0$

2番目の式が成り立たないので、解なし。

(3)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

より、

$1 = x_1 + x_2$

$2 = 3x_1 + 3x_2$

2番目の式は、1番目の式の3倍ではないので、解なし。

(4)

$\begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

より、

$8 = -3x_1 + 7x_2$

$16 = -6x_1 + 14x_2$

2番目の式は、1番目の式の2倍なので、解は無数に存在する。$x_2$をパラメータとして、$x_1 = \frac{7x_2-8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} = -\frac{3}{4}\vec{b_1} + \frac{1}{4}\vec{b_2}$

(2) 線形結合で表せない

(3) 線形結合で表せない

(4) $\vec{a} = \frac{7x_2-8}{3}\vec{b_1} + x_2\vec{b_2}$ (ただし、$x_2$ は任意の実数)

例えば、$x_2=0$のとき $\vec{a} = -\frac{8}{3}\vec{b_1}$.

また、$x_1=0$のとき $\vec{a} = \frac{8}{7}\vec{b_2}$.