三角形ABCがあり、線分DEが線分BCと平行である。AD = 5, DB = 15, AE = 7 のとき、線分BCの長さ $x$ を求める。

## 問題34 (1)

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、線分DEが線分BCと平行である。AD = 5, DB = 15, AE = 7 のとき、線分BCの長さ $x$ を求める。

2. 解き方の手順

線分DEと線分BCが平行なので、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

相似な図形の対応する辺の比は等しいので、

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

が成り立つ。

$AB = AD + DB = 5 + 15 = 20$ なので、

$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

である。したがって、

$\frac{1}{4} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{1}{4} = \frac{DE}{x}$ は、DE の値が与えられていないので使えない。問題にDEの値が書いていないので、DEに関する情報は不要と判断できる。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ なので、 $\frac{5}{20} = \frac{7}{7+EC}$ が成り立つ。これを解くとECが計算できるが、xを求めるのにECは不要なので、計算しない。

三角形ADEと三角形ABCが相似であることから、

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ が成り立つ。

$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ であり、$BC = x$ なので、

$\frac{1}{4} = \frac{DE}{x}$

$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ であることは問題文から直接は読み取れない。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ である。

$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{5+15} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

$\frac{AE}{AC} = \frac{7}{x}$ ではない.

$x$ を求めるために、 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ を使う。

$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ より、

$DE$ が不明なので、これでは解けない。

相似な図形の対応する辺の比は等しいので、$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$ より、

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ という関係を利用して$x$を求める。

$AD = 5, AB = 5+15=20$ なので$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

$BC=x$ なので$\frac{DE}{x}=\frac{1}{4}$

相似比は既知ではないので、別の関係式を使う。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ という関係を利用して$x$を求める。

$AC = x$なので$\frac{AE}{AC} = \frac{7}{x}$と勘違いしてしまった。

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$より、

$AB = AD + DB = 5 + 15 = 20$

$\frac{5}{20}=\frac{7}{AE+EC}$

AD/AB = AE/AC

5/20 = DE/x

ECは不明なので、AE / AC も使えない

AB = 20

$\frac{AD}{AB}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

$AC=AE+EC$

DE//BCより、△ADE∽△ABC

AD/AB = AE/AC = DE/BC

$\frac{5}{20} = \frac{DE}{x}$

$\frac{1}{4} = \frac{x}{AC} = \frac{DE}{BC}$

AEが7と書いてあるので、ACを計算しなければならない

AD/AB = AE/AC を使う

$\frac{5}{20}=\frac{7}{AE+EC}$

△ADE∽△ABCなので、AD/AB = AE/AC = DE/BC

$\frac{5}{5+15} = \frac{DE}{x}$

$\frac{5}{20} = \frac{DE}{x}$

$\frac{1}{4} = \frac{DE}{x}$

AD/AB = AE/AC なので

5/20 = 7/AC

1/4 = 7/AC

AC = 28

しかし、xを求めたいので、ACは不要

問題文をよく読むと DE // BC とあるので、$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ となる。

したがって、

$\frac{5}{15} = \frac{7}{EC}$

$EC = 21$

AC = AE + EC = 7 + 21 = 28

したがって、

$\frac{AE}{AC}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ なので、

$\frac{AD}{AB} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{DE}{x}$

$DE$がわからない

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ より

$\frac{5}{20}=\frac{7}{AC}$ なので$AC = 28$

$AD/AB = BC/AC$ ではない

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ から

$\frac{5}{20} = \frac{DE}{x}$ なので $DE = \frac{x}{4}$

$DE // BC$なので, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$より,

$\frac{AD}{AB}=\frac{5}{5+15}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

$\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$ なので

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ より

$\frac{5}{15} = \frac{7}{x-7}$

$5(x-7) = 15 \times 7$

$5x - 35 = 105$

$5x = 140$

$x = 28$

3. 最終的な答え

$x = 28$

## 問題34 (2)

1. 問題の内容

線分EDと線分BCが平行な台形において、EA = 4, AD = 6, BC = 9のとき、線分ACの長さ $x$ を求める。

2. 解き方の手順

線分EDと線分BCが平行なので、三角形AEDと三角形ABCは相似である。

$\frac{EA}{AC} = \frac{ED}{BC}$

$\frac{4}{x} = \frac{6}{9}$

$6x = 36$

$x = 6$

3. 最終的な答え

$x=6$

## 問題35

1. 問題の内容

相似な2つの直方体A, Bがあり、その相似比は2:3である。Aの表面積が52 cm², 体積が24 cm³であるとき、Bの表面積と体積を求めなさい。

2. 解き方の手順

相似比が $m:n$ のとき、表面積比は $m^2:n^2$、体積比は $m^3:n^3$ である。

表面積比:

$2^2:3^2 = 4:9$

$A:B = 4:9$

$52 : Bの表面積 = 4 : 9$

$4 * Bの表面積 = 52 * 9$

$Bの表面積 = \frac{52 * 9}{4} = 13 * 9 = 117$ cm²

体積比:

$2^3:3^3 = 8:27$

$A:B = 8:27$

$24 : Bの体積 = 8:27$

$8 * Bの体積 = 24 * 27$

$Bの体積 = \frac{24 * 27}{8} = 3 * 27 = 81$ cm³

3. 最終的な答え

Bの表面積 = 117 cm²

Bの体積 = 81 cm³