与えられた式 $2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように並べ替えます。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2 = 2ab^2 - 2a - 3ab + b - 2$

最初の2つの項から $2a$ をくくり出すと、

$2a(b^2 - 1) - 3ab + b - 2$

$b^2 - 1$ は $(b-1)(b+1)$ に因数分解できるので、

$2a(b - 1)(b + 1) - 3ab + b - 2$

次に、$b$ について整理してみることを考えます。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$ を $b$ について整理すると、

$2ab^2 + (-3a+1)b + (-2a-2)$ となります。

与式をうまくグループ化して因数分解を試みます。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2 = (2ab^2 - 3ab + b) - 2a - 2$

ここではうまくいかないため、別の方法を試します。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2 = (2ab^2 - 2a) + (-3ab + b) - 2$

$= 2a(b^2 - 1) + b(-3a + 1) - 2$

$= 2a(b - 1)(b + 1) - b(3a - 1) - 2$

ここで、与式を以下のように並べ替えます。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2 = 2ab^2 - 3ab + b - 2a - 2$

この式を整理すると、

$(2ab^2 - 3ab + b) - (2a + 2)$

最初の３つの項を$b$でくくり出すと、

$b(2ab - 3a + 1) - 2(a + 1)$

再度、与式を以下のように並べ替えます。

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2 = 2ab^2 - 2a - 3ab + b - 2$

$= 2a(b^2 - 1) - (3ab - b + 2)$

$= 2a(b - 1)(b + 1) - (3ab - b + 2)$

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$ をもう一度見直します。

$b - 1 = x$ とすると、$b = x + 1$

$2a(x+1)^2 - 3a(x+1) - 2a + (x+1) - 2$

$= 2a(x^2+2x+1) - 3ax - 3a - 2a + x + 1 - 2$

$= 2ax^2 + 4ax + 2a - 3ax - 3a - 2a + x - 1$

$= 2ax^2 + ax - 3a + x - 1$

$= 2ax^2 + (a+1)x - (3a+1)$

$2ab^2 - 3ab - 2a + b - 2$ を、$a$ について整理すると、

$a(2b^2 - 3b - 2) + b - 2$

$2b^2 - 3b - 2$ を因数分解すると、

$2b^2 - 3b - 2 = (2b+1)(b-2)$

したがって、$a(2b+1)(b-2) + (b-2) = (b-2)(a(2b+1) + 1) = (b-2)(2ab+a+1)$

3. 最終的な答え

$(b-2)(2ab+a+1)$