広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

広義積分なので、まず積分範囲の上端を $t$ に置き換えて積分を計算し、$t \to 1$ の極限を考えます。

まず、不定積分を計算するために、置換積分を行います。

$u = 1 - x$ と置くと、$x = 1 - u$、$dx = -du$ となります。

積分範囲は、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=0$ なので、

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx = \int \frac{1-u}{\sqrt{u}} (-du) = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$$

この積分は、

$$\int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} + C = \frac{2}{3}(1-x)^{3/2} - 2(1-x)^{1/2} + C$$

となります。

次に、定積分を計算します。

$$\int_{0}^{t} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx = \left[ \frac{2}{3}(1-x)^{3/2} - 2(1-x)^{1/2} \right]_{0}^{t} = \left( \frac{2}{3}(1-t)^{3/2} - 2(1-t)^{1/2} \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right)$$

$$= \frac{2}{3}(1-t)^{3/2} - 2(1-t)^{1/2} - \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3}(1-t)^{3/2} - 2(1-t)^{1/2} + \frac{4}{3}$$

最後に、$t \to 1$ の極限を計算します。

$$\lim_{t \to 1} \left( \frac{2}{3}(1-t)^{3/2} - 2(1-t)^{1/2} + \frac{4}{3} \right) = 0 - 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$