与えられた積分 $\int e^{2x} \sin{3x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{2x} \sin{3x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回繰り返すことで解けます。

ステップ1:

$u = \sin{3x}$, $dv = e^{2x}dx$ とおくと、

$du = 3\cos{3x}dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

部分積分 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$$\int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} (3\cos{3x}) dx$$

$$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{2}\int e^{2x} \cos{3x} dx$$

ステップ2:

次に、$\int e^{2x} \cos{3x} dx$ を部分積分で計算します。

$u = \cos{3x}$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、

$du = -3\sin{3x} dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

$$\int e^{2x} \cos{3x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos{3x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}(-3\sin{3x}) dx$$

$$= \frac{1}{2}e^{2x}\cos{3x} + \frac{3}{2}\int e^{2x} \sin{3x} dx$$

ステップ3:

ステップ2の結果をステップ1の式に代入します。

$$\int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x}\cos{3x} + \frac{3}{2}\int e^{2x} \sin{3x} dx \right)$$

$$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{4}e^{2x}\cos{3x} - \frac{9}{4}\int e^{2x} \sin{3x} dx$$

ステップ4:

$\int e^{2x} \sin{3x} dx$ について解きます。

$$\int e^{2x} \sin{3x} dx + \frac{9}{4} \int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{4}e^{2x}\cos{3x}$$

$$\frac{13}{4} \int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{4}e^{2x}\cos{3x}$$

$$\int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{4}{13} \left( \frac{1}{2}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{4}e^{2x}\cos{3x} \right)$$

$$= \frac{2}{13}e^{2x}\sin{3x} - \frac{3}{13}e^{2x}\cos{3x} + C$$

$$= \frac{e^{2x}}{13} (2\sin{3x} - 3\cos{3x}) + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int e^{2x} \sin{3x} dx = \frac{e^{2x}}{13} (2\sin{3x} - 3\cos{3x}) + C$