関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}$

次に、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1})$

$f'(x) = 0 - 2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} + (-1)x^{-2}$

$f'(x) = x^{-\frac{3}{2}} - x^{-2}$

$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

通分すると、

$f'(x) = \frac{x}{x^2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = \frac{x - \sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x^2 \sqrt{x}} = \frac{ \sqrt{x} (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x^2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2} \sqrt{x} \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) ( \sqrt{x} + 1)}{x^{5/2}} = \frac{x - \sqrt{x}}{x^2 \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x^2 \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$