次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。まずは問題4の(2)を解きます。

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(2+x)^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

$(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

よって、

$(2+x)^3 - (2-x)^3 = (8 + 12x + 6x^2 + x^3) - (8 - 12x + 6x^2 - x^3) = 24x + 2x^3$

したがって、

$\frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x} = \frac{24x + 2x^3}{x} = 24 + 2x^2$

$x \to 0$ のとき、 $2x^2 \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} (24 + 2x^2) = 24$

3. 最終的な答え

24