不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$ を次の二つの方法で計算し、結果を比較する問題です。 (i) $x-x^2 = \frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$ を利用して、逆正弦関数 (arcsin) を用いる。 (ii) $\sqrt{x-x^2} = \sqrt{x(1-x)}$ とし、$t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ と置換して、逆正接関数 (arctan) を用いる。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$ を次の二つの方法で計算し、結果を比較する問題です。

(i) $x-x^2 = \frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$ を利用して、逆正弦関数 (arcsin) を用いる。

(ii) $\sqrt{x-x^2} = \sqrt{x(1-x)}$ とし、$t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ と置換して、逆正接関数 (arctan) を用いる。

2. 解き方の手順

(i) $x-x^2 = \frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$ を利用する方法

まず、$x - x^2$ を平方完成します。

$x - x^2 = -(x^2 - x) = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = -( (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$

これを用いると、積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (x-\frac{1}{2})^2}}$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{2} \cos \theta d\theta$ となり、積分は

$\int \frac{\frac{1}{2} \cos \theta d\theta}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin^2 \theta}} = \int \frac{\frac{1}{2} \cos \theta d\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \int \frac{\frac{1}{2} \cos \theta d\theta}{\frac{1}{2} \cos \theta} = \int d\theta = \theta + C$

$\theta = \arcsin(2x-1)$ となるので、

$\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = \arcsin(2x-1) + C$

(ii) $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ と置換する方法

$t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ より、$t^2 = \frac{x}{1-x}$ なので、$t^2(1-x) = x$ となり、$t^2 - t^2x = x$ を $x$ について解くと、$x = \frac{t^2}{1+t^2}$ となります。

よって、$dx = \frac{2t(1+t^2) - t^2(2t)}{(1+t^2)^2}dt = \frac{2t + 2t^3 - 2t^3}{(1+t^2)^2}dt = \frac{2t}{(1+t^2)^2}dt$

また、$\sqrt{x-x^2} = \sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}(1-\frac{t^2}{1+t^2})} = \sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}\frac{1}{1+t^2}} = \frac{t}{1+t^2}$

したがって、積分は

$\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = \int \frac{\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt}{\frac{t}{1+t^2}} = \int \frac{2}{1+t^2}dt = 2 \arctan(t) + C = 2 \arctan(\sqrt{\frac{x}{1-x}}) + C$

(iii) 二つの値を比較する

$\arcsin(2x-1) = 2\arctan(\sqrt{\frac{x}{1-x}}) + C$ が成り立つことを確認します。

$\arcsin(2x-1) = 2\arctan(\sqrt{\frac{x}{1-x}})$.

3. 最終的な答え

(i) $\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = \arcsin(2x-1) + C$

(ii) $\int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = 2\arctan(\sqrt{\frac{x}{1-x}}) + C$

$\arcsin(2x-1) = 2\arctan(\sqrt{\frac{x}{1-x}})$