楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上を運動する点 $P(x, y)$ について、以下の問いに答える。ただし、$a > 0, b > 0$ は定数とする。 (1) 点 $P$ の速度 $\vec{v}$ を $x, y$ で表し、$\frac{\dot{x}^2}{a^2} + \frac{\dot{y}^2}{b^2} = 1$ を満たすことを示す。ここで $\dot{x}$ は $x$ の時間微分を表す。 (2) 点 $P$ の加速度 $\vec{a}$ を $x, y$ で表し、$\frac{\ddot{x}^2}{a^2} + \frac{\ddot{y}^2}{b^2} = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$ を満たすことを示す。ここで $\ddot{x}$ は $x$ の二階時間微分を表す。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上を運動する点 $P(x, y)$ について、以下の問いに答える。ただし、$a > 0, b > 0$ は定数とする。

(1) 点 $P$ の速度 $\vec{v}$ を $x, y$ で表し、$\frac{\dot{x}^2}{a^2} + \frac{\dot{y}^2}{b^2} = 1$ を満たすことを示す。ここで $\dot{x}$ は $x$ の時間微分を表す。

(2) 点 $P$ の加速度 $\vec{a}$ を $x, y$ で表し、$\frac{\ddot{x}^2}{a^2} + \frac{\ddot{y}^2}{b^2} = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$ を満たすことを示す。ここで $\ddot{x}$ は $x$ の二階時間微分を表す。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を時間 $t$ で微分する。

$\frac{d}{dt} (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}) = \frac{d}{dt}(1)$

$\frac{2x\dot{x}}{a^2} + \frac{2y\dot{y}}{b^2} = 0$

$\frac{x\dot{x}}{a^2} + \frac{y\dot{y}}{b^2} = 0$

この式を整理して、

$\frac{\dot{x}}{a^2} = -\frac{y\dot{y}}{x b^2}$

問題文が間違っているような気がする。$\frac{\dot{x}^2}{a^2} + \frac{\dot{y}^2}{b^2} = 1$ とはならない。

（2）$\frac{x\dot{x}}{a^2} + \frac{y\dot{y}}{b^2} = 0$ を時間微分する。

$\frac{\dot{x}^2 + x\ddot{x}}{a^2} + \frac{\dot{y}^2 + y\ddot{y}}{b^2} = 0$

$\frac{x\ddot{x}}{a^2} + \frac{y\ddot{y}}{b^2} = -(\frac{\dot{x}^2}{a^2} + \frac{\dot{y}^2}{b^2})$

これも、問題文の $\frac{\ddot{x}^2}{a^2} + \frac{\ddot{y}^2}{b^2} = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$ とはならない。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x\dot{x}}{a^2} + \frac{y\dot{y}}{b^2} = 0$

(2) $\frac{\dot{x}^2 + x\ddot{x}}{a^2} + \frac{\dot{y}^2 + y\ddot{y}}{b^2} = 0$